Sistema De Ecuaciones Lineales

*En sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal, se trata de un conjunto de ecuaciones lineales sobre una estructura algebraica que llamamos cuerpo. Esta estructura permite que las operaciones de suma, y multiplicación se puedan llevar a cabo cumpliendo también con las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa, aparte de la existencia de su inverso a la suma y la multiplicación, lo cual permite que se efectúen restas y divisiones. Veamos ahora un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones:

El problema de esto radica en hallar los valores desconocidos de las variables, x1, x2 y x3 pertenecientes a las tres ecuaciones que podemos observar.

*Es importante saber que a los tradicionales sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas podemos agregar las ecuaciones que queramos para obtener de esta forma sistemas de 3, 4 o incluso mas ecuaciones. Pero al aumentar el número de ecuaciones se vuelve mas confuso y difícil solucionarlo con los clásicos métodos como la reducción, igualación o sustitución, por lo cual es conveniente aplicar el método de Gauss, que también se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones. De todos modos no explicaremos este método por el momento y esperaremos al siguiente artículo en el cual lo veremos detalladamente.

*TEOREMA

Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, estarán asociadas dos matrices, una será A, o sea la matriz de coeficientes y la otra A* la matriz ampliada. Se le agrega a la matriz de coeficientes la columna de los términos independientes.

Para resolver este tipo de ecuaciones hay varios métodos. Entre ellos el ya nombrado método de Gauss, y la regla de Cramer. Más adelante explicaremos cada uno de estos métodos que nos ayudarán a resolver sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas.

*Para la interpretación geométrica de los sistemas con tres ecuaciones y tres incógnitas, debemos tener en cuenta lo siguiente. Como cada ecuación lineal con tres incógnitas pertenece a un plano en el espacio, el resultado corresponderá a la posición en la cual los planos estén en el espacio. Lo más simple es conocer que pasa con los planos dos a dos, ya que en el espacio dos planos pueden estar solamente en tres posiciones.

*Si están en la posición coincidente, nos daremos cuenta ya que sus correspondientes ecuaciones tendrán los coeficientes de las incógnitas y sus términos independientes en proporción o sea que los planos serían estos:

Aquí por ejemplo los planos 2x+3y-z=5, y -10x-15y+5z=-15. Por lo cual son coincidentes.

*La otra posición en la cual pueden encontrarse los planos, es la posición paralela. En este caso los coeficientes de las incógnitas serán proporcionales, pero sus términos no. Por lo cual:

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