Sistemas De Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Hola, en este documento se enseñará cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Para hallar la solución de algunos problemas se requiere resolver simultáneamente dos o más ecuaciones en varias variables, es decir hallar la solución o soluciones de un sistema de ecuaciones. En este video trabajaremos con un sistema de dos ecuaciones con dos variables y veremos los métodos para hallar sus soluciones.

Una ecuación en dos variables x, y es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que involucran únicamente las variables x e y.

Una solución de un sistema de ecuaciones en dos variables es un par ordenado en R^2que es solución de cada una de las dos ecuaciones del sistema.

Los puntos en el plano xy que corresponden a las soluciones del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de las dos ecuaciones.

Ejemplo

En el siguiente sistema de ecuaciones en las variables x, y

{■("3x" -"2y = -2" &"Ecuación 1" @"5x + y = 1" &"Ecuación 2" )┤

el par ordenado (0,1) es una solución del sistema, ya que (0,1) es solución de cada una de las ecuaciones del sistema porque 3 (0) -2(1) = -2 y 5 (0) + 1= 1.

En la gráfica vemos que (0,1) es el punto de intersección de las rectas que corresponden a las gráficas de las ecuaciones 1 y 2.

Métodos Para Resolver Sistemas De Dos Ecuaciones En Dos Variables

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas las soluciones o el conjunto solución del sistema.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Un sistema es soluble o consistente si tiene al menos una solución; en caso contrario, se dice que el sistema es no soluble o inconsistente.

Método de Igualación

Consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones, luego igualar sus resultados y solucionar el sistema.

Ejemplo:

{■("3x" -"2y = -2" &"Ecuación 1" @"5x + y = 1" &"Ecuación 2" )┤

Solución:

Despejando la variable x de las dos ecuaciones se tendría:

"x = " "- 2 + 2y" /"3" →"De la ecuación 1" "x = " "1 - y" /"5" →"De la ecuación 2"

Igualando los resultados, se obtiene:

"- 2 + 2y" /"3" " = " "1 - y" /"5" " ⟶ 5" ("- 2 + 2y" )" = 3(1 - y) ⟶ -10 + 10y = 3 - 3y"

"-10 + 10y = 3 - 3y" ⟶ "10y + 3y" "= 3 + 10 ⟶ 13y = 13 ⟶ y = " "13" /"13" " ⟶ y = 1"

Reemplazamos el valor de y en la ecuación 1 para obtener el respectivo valor de x:

"3x"-"2(1) = -2 → 3x"-"2 = -2 → 3x = -2 + 2 → 3x= 0 → x = " "0" /"3" " → x = 0"

Por lo tanto, la única solución del sistema es (x, y) = (0,1).

Método de Sustitución

Consiste en despejar una de las variables de una de las ecuaciones y sustituirlas en la otra obteniendo así una ecuación en una sola variable. Se resuelve esta última ecuación y los valores obtenidos se reemplazan en la expresión hallada inicialmente para obtener los valores de la otra variable.

Ejemplo:

{■("3x" -"2y = -2" &"Ecuación 1" @"5x + y = 1" &"Ecuación 2" )┤

Solución:

De la ecuación 1 despejamos la variable x:

"x = " "- 2 + 2y" /"3" →"Ecuación 3"

Sustituimos el valor de x en la ecuación 2:

"5"

...