Sistemas De Varios Grados De Libertad

Unidad 5: Sistemas de varios grados de libertad

El análisis de vibración de sistemas continuos requiere la solución de ecuaciones diferenciales parciales, la cual es bastante difícil. Para muchas ecuaciones diferenciales parciales, de hecho, no existen soluciones analíticas. Por otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Por consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo los sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad.

5.1. Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad

Los sistemas con dos grados de libertad presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1 grado; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con Números grados de libertad. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los sistemas con dos grados de libertad son idénticos a los de sistemas con números de dos l, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos de dos grados de libertad cesibles.

Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial. Figura 1 – Sistemas mecánicos. Se verá como si un sistema con dos grados de libertad sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas de perturbar el equilibrio. Sólo para dos tipos de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación.

Un sistema con dos grados de libertad tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos naturales de vibración y análisis modal.

La figura n. 1 sistemas con dos grados de libertad

5.2. Acoplamiento de coordenadas

Un acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos rígidos con ligamentos que forman una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Cada ligamento tiene uno o más ligas, y éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento mecánico es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, y aplicando una ventaja mecánica.

Los acoplamientos de coordenadas son una parte fundamental del diseño de máquinas, y los más simples acoplamientos no fueron ni inventados ni siquiera entendidos hasta el siglo XIX. Toma en cuenta un simple palo: tiene seis grados de libertad, tres de los cuales son las coordenadas de su centro en el espacio, los otros tres describen su rotación. Una vez unido entre un bloque de piedra y un punto de apoyo y es consignada a un movimiento particular, actuando como una palanca para mover el bloque. Cuando más uniones son añadidas en varios modos su movimiento colectivo se define mayor precisión. Movimientos muy complicados y precisos pueden ser diseñados en un acoplamiento con sólo unas partes.

Dado un vector O_P y un sistema de de referencia definido en el espacio (incluyendo el origen y sus direcciones de referencia), el siguiente paso es definir un sistema de coordenadas para describir el vector. Para esto existen diversos métodos o sistemas alternativos.

A veces resulta conveniente describir matemáticamente el vector O_P con distancias a los ejes o planos de referencia. Otras veces lo describiremos mediante algunos ángulos, o con una combinación de distancias y ’ángulos. En fin, lo importante es reconocer aquí que para describir un mismo vector tendremos a nuestra disposición una variedad de sistemas o métodos alternativos, algunos de los cuales presentaremos a continuación.

5.3. Propiedades ortogonales

Una propiedad ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campo.

Propiedades de las matrices ortogonales.

1. Si A y B son ortogonales entonces A.B y B.A son ortogonales.

2. En general si A y B son ortogonales entonces A +B no es ortogonal y k A no es

Ortogonal.

Matrices idempotentes, nilpotentes y unipotentes.

Definiciones:

Sea A una matriz cuadrada de orden n:

1. Diremos que A es idempotentes si y solo si A.A=A2=A

2. Diremos que A es unipotente si y solo si A.A=A2=In

3. Diremos que A es nilpotente si y solo si A.A=A2=0 (Matriz nula orden n)

5.4. Matriz modal

La matriz modal es aquella cuyas columnas son los vectores característicos.para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores

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