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ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.

Ecuación vectorial de la recta.

Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

Ecuaciones paramétricas de la recta.

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

Ecuación continua de la recta.

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y si igualamos, queda:

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.

Ecuación punto-pendiente de la recta.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se obtiene:

Ejemplo1: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Ejemplo2: Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Ejemplo3:Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Ecuación general de la recta

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ejemplo1: Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

Ejemplo2:Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Ecuación de la recta en forma explícita

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Ejemplo:Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

Ángulo que forman dos rectas

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de sus vectores directores y el producto escalar.

Ejemplo: Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo.

Rectas

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