Solucionario Calculo Diferencial

SEGUNDO ORDINARIO Tercer Cuatrimestre 2015

Valor total: 40 puntos

I Parte. Respuesta Breve. (Valor 15 puntos)

1. Considere  las funciones definidas  por  f (x)  = √4 − x2   y h(x)  = g (f (x)).  Si se sabe que g(x)  es diferenciable en 2. Demuestre  que h0(0) = 0.                                                                  (Valor 3 puntos)[pic 4]

Soluci´on: Si h(x) = g (f (x)), al derivar a ambos lados se obtiene h0(x) = g0 (f (x))·f 0(x) y la derivada evaluada  en cero corresponde  a h0(0) = g0 (f (0)) · f 0(0).  Para  determinar h0(0)  se debe determinar

f (0) y f 0(0). Si f (x) = √4 − x2, entonces f 0(x) = √ −x     ; luego f (0) = 2 y f 0(0) = 0. Como g es[pic 5][pic 6]

4 − x2

diferenciable en 2, entonces g0 (f (0)) = g0(2) existe. Por lo tanto,  h0(0) = g0 (f (0))·f 0 (0) = g0(2)·0 = 0.

2. Determine  la ecuacion de la recta  tangente  a la curva  de f (x)  = 6 tan(x) + 4 cos(2x) en el punto (π, 4).                                                                                                                                   (Valor 3 puntos) Soluci´on: La ecuaci´on de la recta tangente  es de la forma y = mx + b. Primero  se debe determinar el valor de la pendiente  m de la recta tangente, que corresponde a la primera  derivada  de la funci´on evaluada  en x = π.

Como f 0(x) = 6 sec2 x − 8 sen(2x)  y f 0(π) = 6 sec2 π − 8 sen(2 · π) = −6. Adem´as,  el valor de b se obtiene al resolver b = y − m · x ⇒ b = 4 − −6 · π ⇒ b = 4 + 6π.

Por  tanto,  la ecuacion de la recta  tangente  a la curva  de f (x)  = 6 tan(x) + 4 cos(2x) en el punto

(π, 4) corresponde a y = −6x + 4 + 6π.

3. Determine  el valor maximo y el valor m´ınimo  de la funcion definida por f (t) = 4 cos(t) + 4t en el intervalo  [0, π].                                                                                                                    (Valor 3 puntos)

Soluci´on: como f es continua  por ser suma de funciones continuas,  solo es necesario evaluar  f en los puntos  frontera  del intervalo  y en los nu´meros cr´ıticos del intervalo.[pic 7]

Se hace f 0(t) = 0 ⇒ −4 sen t + 4 = 0 ⇒ sen t = 1 ⇒ t =

π[pic 8]

π

; ahora, se deben determinar las imagenes

2     π[pic 9]

de los extremos del intervalo  y la imagen de t =

, pues t =

2                   2

pertenece al intervalo [0, π]. Se tiene

que f (0) = 4, f (π) = −4 + 4 π ≈ 8, 56637 y f  π   = 2π ≈ 6, 28318.[pic 10]

Por tanto, el valor maximo de f es 8,56637 y lo alcanza en t = π; y el valor m´ınimo de f es 4 y lo alcanza en t = 0.

1

4. Verifique que la funcion definida por f (x) = 4x − 2x en el intervalo  [1, 5], satisface las hipotesis del[pic 11]

Teorema del Valor Medio, y determine para esta funci´on, el nu´mero cuya existencia est

garantizada

por dicho teorema.                                                                                                              (Valor 3 puntos)

Soluci´on:  se tiene que f es una  resta  de funciones continuas  en [1, 5], por tanto  f es continua  en

[1, 5] y ademas es diferenciable en ]1, 5[; as´ı, f satisface las hipotesis del Teorema  del Valor Medio.

Luego, f (5) = 19, 9 y f (1) = 3, 5. Ademas, f 0(x) = 4 +

del Valor Medio, debe satisfacerse que

1

2x2[pic 12]

y f 0(c) = 4 +

1

2c2[pic 13]

. Ahora, por el Teorema

f 0(c) =

f (5)  − f (1)

  1

⇒ 4 +

= 19, 9 − 3, 5 ⇒   1

  1

= 4, 1 − 4 ⇒[pic 14]

= 0, 1 ⇒ 2c2  = 10 ⇒ c2  =

5 − 1[pic 15]

2c2                      4

2c2                         

2c2                             

5 ⇒ c = ±

√5, esto implica que los posibles valores de c son

...