TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS

TRABAJO INTRODUCTORIO

TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS

OBJETIVOS

Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles gráficos.

Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados.

Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenómeno físico e interpretarlas.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra, una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenómeno. Las representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son:

Función Lineal : y=mx+b

Función Potencial: y=kx^n

Función Exponencial: y=ke^x

Uso del papel milimetrado: Para el uso del papel milimetrado se debe tener en cuenta lo siguiente:

Se debe tener cuidado de escribir los valores de las variables independiente en el eje de la abscisas y las variables dependientes ene el eje de las ordenadas.

La distribución así obtenida se unen mediante una curva suave usando una regla curva o trazo a mano alzada.

Función Lineal: La distribución de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta, cuya ecuación es: y=mx+b , en donde las constantes a determinar son: la pendiente “m” y la ordenada en el origen (intercepto) “b”, siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.

Primero se construye la tabla 1.

Se calcula la pendiente y el intercepto según las ecuaciones (i) y (ii).

x_i y_i x_i y_i x_i^2

x_1 y_1 x_1 y_1 x_1^2

x_2 y_2 x_2 y_2 x_2^2

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x_n y_n x_n y_n x_n^2

∑▒x_i ∑▒y_i ∑▒〖x_i y_i 〗 ∑▒x_i^2

TABLA 1.

b=(∑▒x_i^2 ∑▒y_i -∑▒x_i ∑▒〖x_i y_i 〗)/(n∑▒x_i^2 -(∑▒x_i )^2 )……………(i)

m=(n∑▒〖x_i y_i 〗-∑▒x_i ∑▒y_i )/(n∑▒x_i^2 -(∑▒x_i )^2 )………………..(ii)

Uso del papel logarítmico: Los gráficos de las relaciones de la forma potencial en el papel logarítmico son rectas de pendiente M=n, que cortan en el eje vertical en: B=log⁡(k). Se recomienda usar papel logarítmico de 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una potencia de 10, el origen de un eje logarítmico puede empezar con… 10-2, 10-1, 100, 101, 102,… etc.

Función Potencial: Al tomar logaritmo decimal a la ecuación y=kx^n, obtenemos:

logy=mlog(x)+log⁡(k)

Que tiene la forma lineal:

Y=MX+B

En donde:

X=log⁡(x) , Y=log(y) , B=log⁡(k)

De esto, podemos observar que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos.

Para el uso del papel logarítmico se toma el logaritmo decimal a cada uno de los datos, construyendo así la tabla 2 (construya esta tabla, cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna).

Para determinar los valores de “M” y “B”, se usan las ecuaciones (iii) y (iv).

Ahora para encontrar la ecuación de la función potencial y=kx^n, graficada en un papel milimetrado debemos determinar los valores de M y k. Del párrafo anterior se tiene que: M=n y k=10b.

x_i y_i X_i=logx_i Y_i=logy_i X_i Y_i X_i^2

x_1 y_1 X_1=logx_1 Y_1=logy_1 X_1 Y_1 X_1^2

x_2 y_2 X_2=logx_2 Y_2=logy_2 X_2 Y_2 X_2^2

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x_n y_n X_n=logx_n Y_n=logy_n X_n Y_n X_n^2

∑▒X_i ∑▒Y_i ∑▒〖X_i Y_i 〗 ∑▒X_i^2

TABLA 2.

b=(∑▒X_i^2 ∑▒Y_i -∑▒X_i ∑▒〖X_i Y_i 〗)/(n∑▒X_i^2 -(∑▒X_i )^2 )……………(iii)

m=(n∑▒〖X_i Y_i 〗-∑▒X_i ∑▒Y_i )/(n∑▒X_i^2 -(∑▒X_i )^2 )………………..(iv)

MATERIALES

Calculadora

Papel milimetrado

Papel logarítmico

Papel semilogarítmico

DATOS

Se

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