Tabla de contenido Espacios Relacionados con la Matriz3

Tabla de contenido

Espacios Relacionados con la Matriz3

Núcleo o Kernel3

Nulidad de la Matriz3

     Recorrido o Imagen……………………………………………………………………………………………………...……..3

         Rango de la Matriz……………………………………………………………………………………………………………3

     Espacio Fila de una Matriz……………………………………………………………………………………………………3

     Espacio Columna de una Matriz…………………………………………………………………………………………..3

     Teorema…………………………………………………………………………………………………………………………...4

Transformaciones Lineales4

Propiedades de la Transformación Lineal4

Teorema4

Escribir el título del capítulo (nivel 1)

Escribir el título del capítulo (nivel 2)

Escribir el título del capítulo (nivel 3)

Espacios Relacionados con la Matriz

Sea A una matriz  AMxn se define:

Nucleo o Kernel:

 Sea A un matriz de mxn. Se denomina al subespacio vectorial Nucleo denotado como :

Nucleo o Kernel= Nu(A) o Ker(A)= [pic 1]

• Nu(A) [pic 2]
• Nu(A) es un subespacio vectorial de Rn 
• La dimensión de Nu(A) se denomina Nulidad de A     dimNu(A) = Nulidad de A = [pic 3]

Teorema:

• Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si [pic 4]

Recorrido o Imagen:

Sea A una matiz de mxn. Se denomina al subespacio recorrido o  vectorial Imagen de A, denotado por Re(A) o Im(A) como:

[pic 5]

• Re(A) [pic 6]
• Re(A) es un subespacio vectorial de Rm.
• La dimensión del Re(A) se denomina rango de A.    dimRe(A)= rango de A= [pic 7]

Espacio Fila o Renglón de la Matriz:

Si A una matriz de mxn, sean  Entonces se define como:[pic 8]

Ef= Espacio Fila de A = [pic 9]

Espacio Columna de la Matriz:

Si A una matriz de mxn, sean  Entonces se define como:[pic 10]

EC= Espacio Columna = [pic 11]

Teorema:

• Sea A una matriz de mxn. Para cualquier matriz A, EC = Im(A) es decir que la imagen de la matriz A siempre será igual igual al espacio columna de esa matriz.
• Si A es una matriz de mxn entonces la dimEC = dimEf = [pic 12]
• Sea A una matriz de mxn , entonces v * vf =0[pic 13]
• Sea A una matriz de mxn. Entonces , donde n es el número de columnas.[pic 14]
• Sea A una matriz de nxn. Entonces A es inversible si y solo si [pic 15]

Ejercicios Propuestos

Sea A la matriz:

[pic 16]

Determine:

• Núcleo
• Imagen
• Espacio Fila
• Sus respectivas bases y Dimensiones

Solución:

Para el núcleo . A partir de la definición de sistema homogéneo

[pic 17]

[pic 18]

Como se ha reducido la matriz por filas entonces han quedado las filas linealmente independiente, por lo tanto constituyen la base para el espacio fila de una matriz.

[pic 19]

Por lo tanto dim E.F(A) =2

dim E.C(A) = 2

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Para el  E.C(A) = 2

[pic 24]

Finalmente para el núcleo:

[pic 25]

Del S.E.L.H:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

N.A = [pic 30]

                      dim Nu(A) = 2[pic 31]

Para el Espacio Fila (A)

[pic 32]

3c-b+2a =0 [pic 33]

-1/3 a  +2/3b+d = 0 [pic 34]

EF (A) = [pic 35]

Para el espacio columna o imagen del recorrido

[pic 36]

C= 5/4 (b+2 a)

EC (A) =IM(A)= [pic 37]

Ejercicio 1.

Sea la matriz

A= [pic 38]

1. Halle una base, dimensión para el núcleo, la imagen, el espacio fila de la matriz.
2. Determine si el sistema AX=B sea consistente si se utiliza como B al vector.

B= [pic 39]

Solución:

Para el Nu (A):

[pic 40]

[pic 41]

Del Resultado:

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Nucleó:

X=  [pic 45]

Del S.E.L.H.

 [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

N.u (A) = [pic 51]

                      dim Nu(A) = 2[pic 52]

1. Para que el S. E. L:

AX = B

Sea consistente :

B [pic 53]

Calculando el espacio generado por las columnas de A:

[pic 54]

  Condición de la imagen o del espacio columna.[pic 55]

EC (A) =IM(A)= [pic 56]

[pic 57]

Como B [pic 58]

Ejercicio 2

Sea A la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales

[pic 59]

1. Determine el espacio fila, núcleo y recorrido de la matriz ( base y dimensión)
2. Sea el valor de :     c=2a + b

Para que el [pic 60]

1. [pic 61]

[pic 62]

Como [pic 63]

A LA HORA DE TOMAR COLUMNAS SE TOMAN DE LA MATRIZ ORIGINAL

[pic 64]

Para el Núcleo:

3[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Nu.(A) = [pic 69]

1. c = 2a+b

                                         [pic 70][pic 71]

Calculando lo que genera el espacio columna:

[pic 72]

Im(A) = [pic 73]

Los vectores [pic 74]

Transformaciones Lineales

Sean V y W dos espacios Vectoriales reales. Una transformación  es una función que asegura un único vector T(v)  W a cada vector , tal que cumple con dos axiomas de linealidad.[pic 75][pic 76][pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

                                            V                      T                       W[pic 80][pic 81]

                                                                                [pic 82]

Teorema:

Sea V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita con base B =  y sea  W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W  tales que [pic 83][pic 84][pic 85]

Otra forma:

[pic 86]

Ejercicio 1:

Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales:

1. [pic 87]

[pic 88]

...