Teorema De Bayes

UNIDAD IV

PROBABILIDAD

“Teorema de Bayes”

M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez

TEOREMA DE BAYES

El reverendo Thomas Bayes (1702 – 1761) desarrolló un concepto útil al calcular ciertas probabilidades. Se asume que Dunham Manufacturing utiliza dos máquinas para producir su producto. La máquina A produce el 60% de la producción total, y la maquina B produce el restante 40%. El 2% de las unidades por A son defectuosas, mientras que B tiene una tasa de defectos del 4%.

Esto se muestra en el diagrama de árbol que acompaña la siguiente figura. Se asume que una unidad de producción se selecciona aleatoriamente. El primer conjunto de “ramas” en el árbol que indica cuál máquina produjo la unidad, muestra que la probabilidad de que provenga de la máquina A es P(A) = 0.60 y que la probabilidad de que provenga de la maquina B es P(B) = 0.40. El segundo grupo de ramas que indica la calidad de la unidad dice que si provino de la máquina A puede ser defectuosa o no defectuosa. Estas probabilidades condicionales demuestran que la probabilidad de que no sea defectuosa dado que provino de la máquina A es P(D ̅ ┤|A) = 0.98 y la probabilidad de que sea defectuosa dado que proviene de A es P(D ┤|A) = 0.02. Las probabilidades condicionales para B revelan que la probabilidad de que no sea defectuosa dado que provino de B es P(D ̅ ┤|B) = 0.96 y la probabilidad de que sea defectuosa con base en la condición de que provino de B es P(D ┤|B) =0.04.

Figura Diagrama de árbol para Dunham Manufacturing

Finalmente, se observa que hay cuatro posibles resultados para el experimento de seleccionar una unidad de producción La probabilidad de cada uno se calcula multiplicando las probabilidades sobre cada una de las ramas que conllevan a ella. Para ilustrarlo, el primer posible resultado es que la unidad provenga de A y que no sea defectuosa, P(A ∩D ̅). Utilizando la regla de la multiplicación, P(A ∩D ̅ )=P(A)∙P(D ̅ ┤|A) = (0.60)(0.98) = 0.588. Las probabilidades de los tres resultados restantes pueden determinarse de forma similar.

Se puede observar directamente en la figura anterior que P(A) = 0.60. Suponiendo que la unidad es defectuosa, se desea saber la probabilidad de que la unidad provino de la máquina A. Con esta información adicional, se puede revisar la probabilidad de que la unidad fue producida por la máquina A. Ahora se desea determinar P(A ┤|D), no sólo P(A).

Vale la pena recordar la regla de la probabilidad condicional:

P(A ┤|D)=(P(A∩D))/(P(D))=(P(A)∙P(D|A))/(P(D))

Sin embargo, P(D) no es discernible de inmediato. Aquí es donde participa el teorema de Bayes. Existen dos formas en las cuales la unidad puede ser defectuosa. Puede provenir de la máquina A y ser defectuosa, o puede provenir de la máquina B y ser defectuosa. Utilizando la regla de la adición,

P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)

P(D)=P(A)∙P(D│A)+P(B)∙P(D|B)

Cuando se hace la sustitución en el denominador de la fórmula de la probabilidad condicional anterior para P(D), el teorema de Bayes dice

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