Teoria De Colas

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

COORDINACION DE ADMINISTRACION Y SISTEMAS

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS ECONOMICOS Y OPTIMIZACION

MANUAL DE INVESTIGACION DE

OPERACIONES II

ELABORO: M.C. AMANDA VAZQUEZ GARCIA

1020151198

INDICE

Formulario de líneas de espera

Terminología de líneas de espera

Problemas resueltos de líneas de espera

Problemas propuestos de líneas de espera

Problemas resueltos Cadenas de Markov

Problemas de tomas de decisiones (todos los criterios)

Problemas resueltos de teoría de juegos

13

14

64

73

83

89

g í r y / o

. é>

. V 3

FORMULAS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES TI

FONDO

UNIVERSITARIO

MODELO No. 1 ( TASA DE LLEGADAS Y TASA DE SERVICIO CONSTANTE)

POBLACION Y LINEA DE ESPERA oo

PARA S = 1

C n = Pn P= A./(Sn) Pn = p n Po Po = 1 - p

2

L = A, / ( p - A , ) Lq = X / p ( p - X ) W=l/(p-?c) Wq = A./p ( p - A,)

- n ( l - p ) t P { W> T } = e , para t > 0 P{Wq>t} = p e ,parat>0

PARA S > 1 , n >1

n n

Cn = ( A, / p. ) / n ! ,paran=l,2 ,S Cn= ( A. / JLÍ ) , para n = S, S + 1,...

fTS

S! S

P o = \ L = L q + J L

S - l *

2 (A./p)n (A,/p)s 1

n = 0

n! S! 1 - ( A, / S p )

Lq = Po ( A, / p )s p Wq = Lq W = Wq + 1

S . ' O - P ) 2 ~ ~

Pn = ( X / p ) n Po , Si 0 < n > S Pn = ( A . / p ) n Po, Si n>S

n! s|sn-s

-M

P(W>t } = e 1 + ? o ( X / [ i )

S!( 1 - p )

-n t ( S - 1 - X / n )

( 1 - e 2

(S-1-^/m-)

-SLI C1 - p ) t

p { Wq > t } = [ l - P { W q = 0 }] e

S-l

P { Wq = 0 } — I Pn

n = 0

MODELO 2 ( LINEA DE ESPERA FINITA, POBLACION oo , TASA DE LLEGADAS Y

SERVICIO CONSTANTES).

PARA S = 1

Xn = X para n = 0,1,2,.... ,M - 1

A, = 0 para n > M ¡j, n = ^

Cn = ( A, / ) = p n paran = 1,2,3...,M Cn = 0 paran>M

P o -J-Z-Q Pn = 1 - p p n para n = 0,1,...,M

! . P (M+L) J _ P(M + I)

L= p ~ (M+ l)p<M + 1> Lq = L - (1 - Po) W = L

i - p i - p ^ D T

Wq = Lq X = X(1 -PM )

PARA S > 1, S < M

Cn = ( À, / {j. ) " , para n=l,2,....,S

n!

Cn- ( X/\i)n , para n = S, S+ 1, ...,M Cn = 0, paran >M

n - S

S! S

Pn = (X/ti)nPo , paran = 1,2,....,S

n!

Pn = ( X / f i ) n Po ,para n = S , S + l , M Pn = 0, paran >M

S! Sn "s

1

i + Z ( X / » ) n + ( A / iO

n= i n! S!

M

z

n=S+l

n - S

Sp

P o ( X / p ) p

S! C 1 - p )

1 - p

M - s -(M- S)pM- S (1 - P)

s-1

Z

n = 0

nPn + Lq + S

s -1

1 - ZPn

n = 0

L Wq = Lq

JL

X = X ( 1 - PM)

MODELO No.3

(TASA DE LLEGADA Y FRECUENCIA DE SERVICIO CONSTANTE, FUENTE DE

ENTRADA LIMITADA POBLACION FINITA Y POR LO TANTO LINEA DE ESPERA

FINITA)

PARA S=1

Xn = (M - n) X, para n = 1,2,...., M

Xn = 0, para n > M pn = p, para n = 1,2,

M !

Cn = (A./p)n,n=l,2, M Cn = 0 , n >M

( M - n )

1 M!

Po = Pn = ( A7p)n Po, para n=l,2,....,M Pn =0 para n>M

M M ! (M - n)!

Z (X/p)n

n=0 (M-n)!

^ + P M ^

Lq = M (1 - Po) L = ZnPn = Lq + (l -Po) = M (1 - Po)

h n=0 %

L Lq

W = ------ Wq = X = X(M-L)

X X

PARA S>1

M! M!

Cn = (?t/p) n, para n=l,2,....S Cn = (A7p)n, para n=S,S+l,.

(M - n)!n! (M-n)!S!Sn"s

Cn = 0, para n > M

M'

P n = P o Si 0 < n < S Pn = Po (Vtf, « S< n <M

(M - n)!n! (M - n)!S!S

n-S

Pn = 0, Si n >M

1 M

Lq = I (n-S)Pn

S4 M! M M! n=S+l

S Qj\i)n + I (H0n

n=0 (M - n)!n! n=S (M-n)!S!S

n-S

S-l S-l

L = I nPn + Lq + S ( l - Z Pn) W =

n=0 n=0

Lq

Wq =

X = X (M - L)

MODELO No.4

LINEAS DE ESPERA CON TASAS DE LLEGADA Y/O SERVICIO DEPENDIENDO

ESTADO DEL SISTEMA (VARIAN), POBLACION Y LINEA DE ESPERA <x>

S=1

L Lq

W = — Wq = — r Lq = L - (1 - Po)

X X

Po y L tablas en función de c y p P, = C,Po

CaSo I.- Varia la taSa de Servicio

pn = n cm Xn = X Cn = , paran =1,2,

(n!)c

M-i = Tasa de servicio normal

c = Factor de presión

fin = Razón media de servicio cuando hay n clientes en el sistema

CaSo II.- Varia la tasa de llegada

A,n = (n+ l)"b Xo, paran = 0,1,2, pn = |i

-b = Factor de presión sobre el cliente

CaSo Ill.-Cuando la frecuencia de llegada y/o servicio dependen del estado del sistema

pn = na|il, para n=l,2, Xn= (n+l)"b À.o, para n=0,1,2,.... C = a + b

PARA S > 1

pn = np', Si n < S ^n = (n/S)a Sp.1, Si n> S

Xn = Xo, Si n < S-l A,n = ( S / n+l)b A,o Si n > S-l

( ^ o / p , ) " fro/^r

Cn = , para n=l,2, S Cn = , para n=S,S+l,

n! S!(n!/S!)c S(1"c)(n"S)

Lq = (L - P,) - 2(1 - Po - P,), Si S=2

Po ( X/\if p

L q ñ =

S! (1 - p)2

W = Wq+ 1/p

Po y L (tablas en función de c y p)

P ^ C . Po

"PROBLEMAS RESUELTOS

DE LINEAS DE ESPERA

PROBABILISTICAS"

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II LINEAS DE ESPERA

TFRMINOLOGIA

L = ESTADO DEL SISTEMA O EL NUMERO DE CLIENTES EN EL SISTEMA

EN UN MOMENTO DADO.

Lq = NUMERO DE CLIENTES EN EL SISTEMA ESPERANDO POR SERVICIO.

W = TIEMPO TOTAL DEL CUENTE EN EL SISTEMA DESDE QUE ENTRA

HASTA QUE SALE.

Wq = TIEMPO TOTAL DE ESPERA POR SERVICIO DEL CLIENTE EN EL

SISTEMA.

p = RAZÓN DE UTILIZACIÓN DEL SISTEMA.

M = MÁXIMO NUMERO DE CLIENTES POTENCIALES EN EL SISTEMA EN

UN MOMENTO DADO.

S = NUMERO DE SERVIDORES EN EL SISTEMA

n = NUMERO DE CLIENTES EN EL SISTEMA EN UN TIEMPO t.

Pn(t) = PROBABILIDAD DE QUE HAYA EXACTAMENTE n CLIENTES EN EL

SISTEMA EN UN TIEMPO t.

X = FRECUENCIA DE LLEGADAS POISSON = NUMERO DE CLIENTES QUE

LLEGAN POR UNIDAD DE TIEMPO

u - FRECUENCIA DE SERVICIO EXPONENCIAL = NUMERO DE CLIENTES

QUE SON ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO.

1 , X = TIEMPO ENTRE LLEGADAS QUE TRANSCURRE ENTRE UNA

LLEGADA Y LA SIGUIENTE.

1/u = TIEMPO DE SERVICIO ALA MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN ESPERADA

DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO.

P { W>t} = PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE SE ESTE MAS DE UN

TIEMPO t EN EL SISTEMA.

P { Wq > t> = PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE SE ESTE MAS DE UN

TIEMPO t ESPERANDO POR SERVICIO EN EL SISTEMA.

1 .-En el departamento de emergencia de un hospital los pacientes llegan con

una distribución de probabilidad poisson a una media de 3 clientes por hora.El

médico que esta en dicho departamento los atiende con una frecuencia de

servicio exponencial a una tasa media de 4 clientes por hora. ¿ Contrataría o

no a un segundo médico?

Nota: Este problema no tiene parámetro para tomar una desición, se realizó

para fines de práctica para utilización de fórmulas.

Determine :

a) Razón de utilización del sistema (p).

b)Probabilidad de que no se encuentren pacientes en el sistema (PO).

c)Probabilidad de que exista un paciente en el sistema (P1).

d)Probabilidad de que existan 3 pacientes en el sistema ( P3).

e)Tiempo total del cliente en el sistema (W).

f)Tiempo total de espera por servicio en el sistema (Wq).

g)EI número de pacientes en el sistema en un momento dado (L).

h)EI número de pacientes en el sistema esperando por servicio (Lq).

i)Probabilidad de que el cliente se espere más de 1 hora en el sistema.P {W > 1 }

j)Probabilidad de que el cliente espere más de media hora en el sistema

esperando por servicio. P {Wq > 1 / 2 } .

SOLUCION : MODELO I

Poblacion = co Tasa de llegadas = cte. (X)

Línea de espera = co Tasa de servicio = cte. (p)

Datos:

X = 3 Pacientes/ hora

p = 4 Pacientes/hora

Para s = 1 Para s = 2

a)p = X / s p = 3/(1) (4)= 3/4 a)p = X / s p = 3/ (2) (4) = 3/8

b)P0= 1-p = 1 - 3 / 4 = 1 / 4 b)P0 = 1

s-1

2 ( W + (((X/u)s . ( 1 )\

n=0 n! s! 1 - (A./sp)

c)Pn= pnP0

b)P0= 1 =5/11

{ (3/4)° + (3/4V +U3/4)2 . _J .}

0! 1! 2! 1- 3/(2)(4)

c)P1=(3/4)1 (1/4)= 3/16 c) Pn = (A7p)n Pn

n!

d)P3= (3/4)3 (1/4)=. 1054 c)P1= (3/4)1. ( 5/11) = .3409

1!

eWV= 1 = 1 =1 d)Pn = i ^ _ Po

= 3 =3/4 d) P3= _ (3 /4)3 .( 5/11) = .0479 (n>s)

u(p-A.) 4(4-3) 2!23"2

? sustituyendo:

g)L = . \ . = 3 . =3 e) W= Wq+J_ =

ji-X. 4-3 H

h) Lq= =2 25 f) Wq= U

p <|x - X) 4 (4 - 3) A.

i ) ( P / w > 1 } = e^1-p>, h) L c i = PoJM^Ji

_ e-4(1-3/4)(1) S! (1- p)

= .3678

i){ P(Wq>1/2} = p e, l ( 1"p)t} h)Lq= m i l l ^ l A m =1227

...