TEORIA DE COLAS

Problemas de Teoría de Colas

1.- Sea la cola G/M ()/1 y sea aj=E {( X)j e-x}/j!; siendo X la variable tiempo entre las llegadas. Suponer ρ < 1.

Demostrar que la distribución estacionaria de la cadena que denota la longitud de la cola en los momentos de las llegadas satisface pn = ai p n+i-1 n > 0.

Buscar una solución de la forma pn = θn y deducir que la única distribución estacionaria está dada por pj = (1-ε) εj con ε la raíz positiva más pequeña de la ecuación s = LX ( (s-1)) con LX la transformada de Laplace de la variable X.

2.- Considerar un sistema M/M/1 con la particularidad de que se añade un servidor cuando la longitud de la cola excede de N.

Modelar el sistema y calcular la distribución y la longitud de la cola en el equilibrio.

Suponer que la espera de un cliente cuesta c pesetas y el servidor adicional d pesetas. ¿En qué condiciones será rentable este sistema?

3.- Una cola M/M/1 con control: Se pretende que el servidor esté ocupado todo el tiempo y la política es la siguiente. Cuando no hay clientes, la ventanilla se cierra y en el momento que llega el primer cliente, el sistema tarda un tiempo exp () en ponerse en marcha.

Modelar el sistema y

Calcular la función generatriz de la distribución en el equilibrio cuando exista.

4.- Considerar la cola M/M/1 con ρ < 1. Sea Q la longitud de la cola en el equilibrio.

Demostrar que (1-ρ)Q converge en distribución hacia una ley exponencial de parámetro 1 cuando ρ tiende a 1.

5.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre dos llegadas consecutivas es una ley exp (λ) ,los clientes son servidos de dos en dos y el tiempo de servicio es una ley exp (m) .

Modelar el sistema.

Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.

Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solución.

En el equilibrio calcular la distribución de las salidas de este sistema.

6.- Sean dos sistemas M/M/1 con la misma intensidad de tráfico, pero con distribución de entradas y salidas distintas λ `= k λ m ´= k m

Comparar en el equilibrio, la longitud media de la cola, el tiempo medio de permanencia en el sistema, el tiempo medio de permanencia esperando en el sistema y el tiempo de ocupación del servidor. Comentar los resultados obtenidos.

7.- Un sistema está formado por N componentes, cada componente independientemente de las otras se avería según una ley exponencial de parámetro λ; cuando se avería se la repara independientemente de las demás por un solo operario de forma que el tiempo de reparación sigue una ley exponencial de parámetrom. Sea X(t) el número de componentes del sistema en reparación en el instante t.

Modelar el proceso

Calcular la distribución de X(t) en el equilibrio.

Calcular el tiempo medio que una componente averiada pasa en el taller de reparación.

Sea X(0) = 0 y sea T = inf {t/X(t)=2\} . Calcular la distribución de T.

8.- Un modelo de cola geométrica: Los clientes llegan a un determinado sistema requiriendo un servicio de forma que los tiempos entre dos llegadas consecutivas son independientes y siguen una ley geométrica de parámetro  P(T = n) = a (1-a)n-1 n = 1, 2,.... Los clientes son servidos por un solo servidor según el orden de llegada. El tiempo de servicio es una variable geométrica de parámetro β P(S = n)= β (1- β)n-1 n=1,2,... . Los tiempos de servicio son independientes de las llegadas y de la longitud de la cola.

Demostrar que Xn es una cadena de Markov y calcular su matriz de transición

Calcular en el equilibrio la distribución de la longitud de la cola.

Considerando el sistema en el equilibrio, calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema.

¿Se verifica la formula de Little?

9.- Sistema M/Ek/1: Considerar este sistema en el que el tiempo de servicio sigue una distribución de Erlang con función de densidad f(y) = (1\ (k-1) !) ( km) k -1e-kmy

Modelar el sistema como markoviano, suponiendo que el servicio se compone de k fases exponenciales de manera que cada llegada de un cliente incrementa el tamaño de la cola en k fases, y cada vez que se completa una fase, decrece el tamaño de la cola en una fase.

Calcular los parámetros del proceso y plantear las ecuaciones en el equilibrio.

Resolverlas por el método de la función generatriz.

Calcular la longitud media de la cola y el tiempo medio de permanencia en el sistema en el equilibrio.

10.- Dado el sistema M/M/c en el equilibrio, sea τ el tiempo entre dos salidas consecutivas. Sea K(t) el estado del sistema en el tiempo t transcurrido desde la última salida.

Sean Fn(t)=P(K(t)=n t< τ ), F(t) = Σn=0.Fn(t).

Plantear ecuaciones diferenciales para Fn(t) y ver que la solución es Fn(t) = pn e-λt y por tanto P(τ >t)=e -λ t.

Demostrar que τ y K(τ) son independientes

P(K(τ +dt) = n t< τ < t +dt)=pn λ e-λ t

Comentar el resultado.

11.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre dos llegadas consecutivas es una ley exp (λ), los clientes son servidos de uno en uno y el tiempo de servicio es una ley exp (m).

Modelar el sistema.

Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.

Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solución.

En el equilibrio calcular la distribución del tiempo transcurrido entre dos salidas consecutivas.

Intentar resolver el problema cuando cada llegada produce 3 clientes.

12.- En el sistema M/M/1 encontrar la densidad de la variable Wq condicionada por Wq >0. Siendo Wq el tiempo que un cliente permanece esperando en el sistema (en cola), cuando éste se encuentra en el equilibrio.

13.- Considerar el siguiente sistema. Una oficina municipal ofrece un servicio en el que un solo funcionario atiende a los usuarios que llegan requiriendo dicho servicio. El tiempo de servicio sigue una distribución exponencial de media 10 clientes por hora. Los usuarios llegan según un proceso de Poisson de intensidad 7 clientes por hora. El sistema presenta la particularidad de que hay un cliente especial, el tiempo entre las llegadas de este cliente especial es una ley exponencial de media 1 hora independiente del proceso de las llegadas y de la longitud de la cola. Este cliente cuando llega es atendido inmediatamente y desplaza al cliente que está siendo servido. Se supone que solo hay un cliente especial.

Modelar el sistema como un proceso markoviano y plantear las ecuaciones en el equilibrio.

Encontrar la probabilidad de que un cliente normal sea desplazado n veces.

Hallar el tiempo medio entre dos llegadas efectivas consecutivas del cliente especial.

14.- Considerar un sistema en serie con dos fases y un canal en cada fase. Las llegadas son un proceso de Poisson de intensidad λ y los servicios son exponenciales m1 y m2 respectivamente.

Suponer que un cliente que llega encuentra la primera fase vacía.

Calcular la probabilidad de que cuando este cliente llegue a la segunda fase la encuentre también vacía.

15.- Considerar el sistema M[k]/M/1.

Modelar la longitud de la cola y plantear las ecuaciones prospectivas.

Encontrar la distribución en el equilibrio cuando exista (función generatriz) y la longitud media de la cola.

16.- Dado el sistema M/G/1

Demostrar que la longitud media es mínima si el tiempo de servicio es constante.

Para este tiempo de servicio, calcular la distribución en el equilibrio.

17.- El número de clientes que llega a un banco es un proceso de Poisson de intensidad λ). Si un cliente al llegar encuentra n usuarios, con probabilidad an espera y con probabilidad 1-an se va. Suponer que hay 3 servidores igualmente hábiles y con tiempo de servicio esp(m)

Encontrar la distribución estacionaria del sistema cuando exista y calcular la proporción de clientes perdidos (los que al llegar al banco no esperan y se van)

18.- Considerar el sistema M/M/1 con dos tipos de clientes, clientes de prioridad 1 y clientes de prioridad 2. Los clientes de prioridad 1 tienen prioridad absoluta desplazando en la ventanilla a los clientes de prioridad 2.

Modelar el sistema

Encontrar la probabilidad de que un cliente de tipo 2 complete su tiempo de servicio sin ser desplazado de la ventanilla.

Encontrar el tiempo medio transcurrido desde que un cliente de tipo 2 fué atendido por primera vez hasta que completó su servicio.

19.- Modificamos el sistema M / M /  de forma que el acceso al sistema sólo se permite en los instantes nτ, de forma que todos los clientes llegados en el intervalo ((n-1) τ, nτ) entran todos a la vez en el instante nτ.

Definimos Xn como el número de clientes en el sistema en el instante nτ.

Ver que Xn es una cadena de Markov y calcular sus probabilidades de transición.

Calcular la distribución en el equilibrio de la cadena.

Comparar esta distribución con la de la cola M/M/ ¥.

20.- Sea una cola en serie con dos fases y un canal en cada fase. El sistema actúa de la siguiente forma: Cuando se completa el servicio en la primera fase el cliente deja el sistema con probabilidad 1-p o pasa a la segunda

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