Teoria De Colas

1. Introducción

Todos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al

esperar en una cola. El fenómeno de las colas nos parece natural: esperamos en el coche al estar en un

tapón, o un semáforo mal regulado, o en un peaje; esperamos en el teléfono a que nos atienda un

operador y en la cola de un supermercado para pagar....

Generalmente como clientes no queremos esperar, los gestores de los citados servicios no quieren

que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?

La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es)

menor que la capacidad demandada. Esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que

aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: ¿Compensa invertir?

La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos analíticos.

2. Descripción de un sistema de colas

Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio,

esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos

se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.

El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede

significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir

en una impresora en red.

Figura 1 Un sistema de cola básico

Aunque la mayor parte de los sistemas se puedan representar como en la figura 1, debe quedar

claro que una representación detallada exige definir un número elevado de parámetros y funciones.

La teoría de colas fue originariamente un trabajo práctico. La primera aplicación de la que se

tiene noticia es del matemático danés Erlang sobre conversaciones telefónicas en 1909, para el cálculo

de tamaño de centralitas. Después se convirtió en un concepto teórico que consiguió un gran

desarrollo, y desde hace unos años se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige un

importante trabajo de análisis para convertir las fórmulas en realidades, o viceversa.

servicio

clientes que

abandonan

clientes

llegando

clientes

servidos

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2.1 Características de los sistemas de colas

Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un

sistema de colas:

a) Patrón de llegada de los clientes

b) Patrón de servicio de los servidores

c) Disciplina de cola

d) Capacidad del sistema

e) Número de canales de servicio

f) Número de etapas de servicio

Algunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes.

2.1.1 Patrón de llegada de los clientes

En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una

cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos

llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente

o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución

probabilística de éstos.

También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es

demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.

Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le

llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.

2.1.2 Patrones de servicio de los servidores

Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle,

para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual.

El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando

más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el

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patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo

transcurrido.

2.1.3 Disciplina de cola

La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos

de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO

(atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la

disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con

prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de

clientes.

En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada

en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que

está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el

cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda

situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe

el que está siendo atendido.

2.1.4 Capacidad del sistema

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en

la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser

considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

2.1.5 Número de canales del servicio

Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para

todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se

habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas

independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.

En la figura 1 se dibujó un sistema mono-canal, en la figura 2 se presenta dos variantes de

sistema multicanal. El primero tiene una sóla cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola

cola para cada canal.

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Fig. 2 Sistemas de cola multicanal

Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera

independiente.

2.1.6 Etapas de servicio

Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente

puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvo

que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por

un servidor diferente.

En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitual

en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos.

Un sistema multietapa se ilustra en la figura.3

Figura 3: Sistema Multietapa con retroalimentación.

2.1.7 Resumen

Las anteriores características bastan, de modo general, para describir cualquier proceso.

Evidentemente se puede encontrar una gran cantidad de problemas distintos y, por tanto, antes de

comenzar cualquier análisis matemático se debería describir adecuadamente el proceso atendiendo a

las anteriores características.

Una elección equivocada del modelo lleva a unos resultados erróneos, y en muchos casos no

analizar adecuadamente nos puede llevar a pensar que el sistema no es posible de modelar.

2.2 Notación básica

2.2.1 Nomenclatura

= Número de llegadas por unidad de tiempo

= Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado

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c= Número de servidores en paralelo











c

: Congestión de un sistema con parámetros: (,, c)

N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t

Nq(t): Número de clientes en la cola en en el instante t

Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t

Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}

N: Número de clientes en el sistema en el estado estable

Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}

L : Número medio de clientes en el sistema

Lq : Número medio de clientes en la cola

Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola

S : Representa el tiempo de servicio

T = Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema

Wq= E[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

W=E[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

r: número medio de clientes que se atienden por término medio

Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado

Tabla 2: Nomenclatura básica

Con el paso del tiempo se ha implantado una notación para representar los problemas de colas

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