Teoria De Conjuntos

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Cuando un elemento 1 x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: xA ∈1 . En

caso de que un elemento 1 y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: yA ∉1

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión : los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: ( ){ } { } n,x,,x,xxxxPA ⋅⋅⋅== 231

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición ( ) Px es

verdadera, como 23 1 ,x ,xx , etc 1.

3) Diagramas de Venn : son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos 2.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.

Solución. Por extensión: { } a,e,i,o,uV = Por comprensión: { } unavocalxesVx = Por diagrama de Venn:

1 La notación ( ) Px no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un conjunto. 2 En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el número de elementos que posee el conjunto.

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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Ejemplo. Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución. Por extensión: { } ,Plutón,Neptuno,Urano,Saturno,Júpiter,Marte,Tierra,VenusPMercurio = Por comprensión: { } sistemasolarplanetadelesunxxP = Por diagrama de Venn:

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Saturno

Urano

Neptuno

Júpiter

Plutón

P

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un subconjunto de B . La notación B A⊂ significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es subconjunto de B . En este caso la notación AB ⊄ significa que A no es un subconjunto de B .

Gráficamente, esto es:

En los ejemplos anteriores, si { } a,e,oF = es el conjunto de las vocales fuertes y { } ,VenusSMercurio = es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que: FV ⊂ y que SP ⊂ . De la misma forma, nótese como: FP ⊄ , SV ⊄ , FS ⊄ y SF ⊄ .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos η o # . De los conjuntos anteriores: ( ) 5 =η V , ( ) 3 =η F , ( ) 9 =η P y ( ) 2 =η S .

A

B

BA BA ⊄ ⊂

BA BA ⊄ ⊄

BA BA ⊄ ⊄

A

B

A

B

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

• Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos. { } laactualidadvivenensquelosdinosaurioxsonx= φ { } { } deañosbresmayoresloshomxsonx 300= { } queceropositivosmenoressonnúmerosxx= φ

• Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos. { } { } ,domingo,sábado,viernes,jueves,miércoles,martessemanalunesdelalosdíasxsonUx == { } { } ,viernes,jueves,miércoles,martesinglesaluneslasemanadíasdesonlosxxA == { } { } ,domingosemanasábadofindedíasdelsonlosxxB == { } { } ,sábado,jueves,martesletraslunesdesieteconmenoslasemanadíasdesonlosxxC == Nótese cómo: CU U,,BAU ⊂ ⊂⊂

• Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos. { } dejuniodelmesundíanúmerodeeselxxJ = { } 42 == xxK { } deMéxicolaciudadautosencantidaddeeslaxxL =

• Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.

Ejemplos. { } ⋅⋅⋅= ,,,,,,N 9115713 { } ⋅⋅⋅= ,,,,,,M 10126824 { } unalíneapuntosencantidaddeeslaxxQ =

• Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = .

Ejemplo. { } 9078563412 ,,,,,,,,R, = { } undígitoxesSx = RS =

• Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠ .

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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Ejemplo. { } 9 2 == xxD { } 22 E, −= ED ≠

• Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.

Ejemplos. { } delañolasestacionesxsonWx = { } puntocardinalesunxxZ = ( ) 4 =W η ( ) 4 =Z η WZ ≈

Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca . Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto.

En el ejemplo anterior:

Primavera

W Z

Verano

Otoño

Invierno

Norte

Sur

Este

Oeste

OPERACIONES CON CONJUNTOS

• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como AB ∪ . Esto es:

{ } xBAoxxAB ∈∈=∪

Gráficamente:

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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AB ∪

A B

U

Ejemplo. { } ,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaAmango = { } ,plátano,sandía,naranja,uva,melónBdurazno = { } tano,plá,melón,durazno,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaBmangoA =∪

• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como AB ∩ . Esto es:

{ } xBAyxxAB ∈∈=∩

Gráficamente:

AB ∩

A B

U

Ejemplo. { } ,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaAmango = { } ,plátano,sandía,naranja,uva,melónBdurazno = { } ,sandía,naranjaBuvaA =∩

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo: { } ,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaAmango = { } ,cereza,mandarina,peralimón,fresaE = φ=AE ∩

• El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A' . Esto es:

{ } xAxUA' ∈∉=

Gráficamente:

U

A'

A

Ejemplo. { } ,plátanolimón,melóndurazno,sandía,manzana,cereza,naranja,pera,uva,ciruela,kiwi,mango,U = { } ,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaAmango = { } ,plátanolimón,melóndurazno,cereza,pera,kiwi,A' =

En este ejemplo se puede notar como ( ) ( ) ( ) UA'A η=η+η

De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:

( ) A A' ' = 'U = φ φ =U'

• La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como B A− . Esto es: { } xBAyxxAB ∈∉−=

Gráficamente:

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UAB −

A B

Ejemplo. { } ,sandía,manzana,naranja,uva,ciruelaAmango = { } ,plátano,sandía,naranja,uva,melónBdurazno = { } ,manzana,ciruelaBmangoA −= { } ,plátano,melónAduraznoB −=

Se puede advertir como A BBA − ≠− .

Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:

B'BAA ∩=− ABsí:ysólo,síAB ⊂φ=− ABsí:ysólosíA,BBA =−=− φ==− ABsí:ysólosíA,AB ∩ ( )BA A ⊂ − AA =φ− 'A'BBA −=− Los conjuntos BA B,AB,A − − ∩ son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío).

Ejemplo. Sean los conjuntos: { } ,nma,b,c,d,e, f ,g,h,i, j,k,l,U = { } a,d,e,g,h, k,l,nA = { } ma,c, f ,g, k,l,B = Obtener: a) AB ∪ b) AB ∩ c) A' d) B' e) B A− f) A B − g) B A' ∪ h) B' A∩ i) B' A' ∩ j) B' A' − k) ( ) B'A ∪ l) ( ) B'A ∩

...