Teoria De Conjuntos

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO

EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

1. CONJUNTOS.

1.1 Conceptos básicos

Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre y ambas nos

conducen a los números. Haciendo marcas, medían el tiempo y el conteo de bienes que poseían, así

surgió la aritmética y fue hacía fines del siglo XIX cuando George Cantor creó la teoría de los

conjuntos, pero fue cerca de los años veinte del siglo XX que Gottob frege hizo el desarrollo del

enfoque moderno de la matemática y después Bertrand Russell completó y desarrolló las

aplicaciones de esta teoría.

La idea de conjunto, es en sí intuitiva y muy antigua. Desde sus orígenes la sociedad humana

ha tenido la idea de agrupaciones o conjuntos: la familia, los clanes, las tribus fueron los primeros

conjuntos.

Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos; escribimos usando conjuntos de

letras, efectuamos operaciones de conteo y usando un conjunto de números, etc.

Podemos considerar un conjunto como la colección de objetos o cosas que

tienen una o mas propiedades en común. Los objetos que forman un conjunto

se les llama elementos del conjunto.

Generalmente los conjuntos se representan por letras mayúsculas y las minúsculas para

sus elementos.

Un factor importante para la comprensión de cualquier texto es la correcta interpretación de los

símbolos; por tal razón se ofrece la lista de estos enseguida y su significado.

1.2 Simbología.

Símbolo Significado

A, B, C, Indican conjuntos.

a, b, c Indican elementos.

Î Pertenece a....; es elemento de ....; está en....

Ï No pertenece a....; no es elemento de ....; no está en ...

{…} Conjunto.

= Es igual a; igual que.

½ Tal que, dado que.

¼ Así sucesivamente.

U W Conjunto universal.

Æ = { } Conjunto vacío.

¹ Diferente de; es distinto a; no es igual a.

Ì Subconjunto propio de; es subconjunto de..

Ë No es subconjunto propio de..

Í Subconjunto impropio, subconjunto de.

Ë No es subconjunto de...

> Mayor que.

< Es menor que.

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Ý No es mayor que.

Û No es menor que.

³ Es mayor que o igual que.

£ Es menor o igual que.

U Unión con.

I Intersección con.

´ Complemento de.

® Implifica que.....; entonces...

« Si y solo si....; doble implicación, equivalente a.

º Identico.

\ Por lo tanto.

} Condicional.

$ Existe.

ò No existe.

" Para todo.

h (A) Cardinalidad del conjunto A.

Un conjunto se puede expresar de dos formas:

a) Por extensión o forma implícita.

b) Por comprensión o forma explícita.

Ejemplos:

a) Por extensión: A : {a, e, i, o, u}

Los elementos que contiene el conjunto A están explícitamente escritos, es decir,

que todos los elementos aparecen entre el signo de agrupación { }.

b) Por comprensión: B = {x * x + 3 = 5 }

Como se puede ver, se da una condición para que podamos encontrar los elementos

que pertenecen al conjunto.

Ejercicios:

1) Por extensión. A = {MERCURIO, VENUS, TIERRA, MARTE}

2) Por extensión. b = {z - c = 3000, z = 10}; c = - 2990

3) Dado el conjunto de números pares positivos menores que 11 expresados en:

a) Extensión: A = {2, 4, 6, 8, 10}

b) Comprensión: b = {x* x es un número par < 11}

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1.3 Concepto de pertenencia.

El concepto principal de la teoría de conjuntos es la pertenencia, supongamos que A es un

conjunto y que x es elemento de A, podemos expresarlo como:

x Î A

Si escribimos, y Ï A, significa que y no pertenece o no es elemento de A.

Ejemplos:

1) a Î V; donde V es el conjunto de las vocales.

2) 4 Î N; donde N es el conjunto de los números reales.

3) 9 Ï P; donde P es el conjunto de los números primos.

1.4 Cardinalidad.

El número de elementos contenidos en un conjunto determina la cardinalidad del conjunto.

En: V = {a, e, i, o, u}. Su cardinalidad será 5, y la expresión h(V) = 5, se lee cardinalidad de

V igual a 5.

En: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La cardinalidad será 6 y se expresa como: h(P) = 6

1.5 Conjuntos equivalentes.

Si dos conjuntos poseen la misma cardinalidad, se dice que son conjuntos equivalentes, ya

que tienen el mismo número de elementos y se puede establecer entre ambos una correspondencia

de uno a uno, así los conjuntos:

A = {verde, azul, rojo} y B = {5, 4, 3 }

Son equivalentes, ya que se puede establecer la correspondencia biunivoca, es decir:

{verde, azul, rojo}

{ 5 , 4 , 3 }

1.6 Igualdad de los conjuntos.

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, no importando el

orden, ni el número de elementos.

1) Sean: A = {a, b, c, d} y B = {d, c, b, a}

ˆ A = B; por tener los mismos elementos.

2) Sean: C = {a, b, c, d} y D = {a, a, b, c, d, d, c, b}

ˆ C = D; por tener los mismos elementos, no importando que se repitan.

Tenemos las siguientes clases de conjuntos:

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a) Conjunto unitario. Es aquel que está formado por un solo elemento.

A = {PERRO} C = {a} B = {1} D = {x* x + 2 = 3}

b) Conjunto finito. Es cuando los elementos de un conjunto pueden enlistarse

del primero al ultimo.

A = {a, e, i, o, u} B = {x* x sea un animal}

C = {REPTILES} D = {x* x2 = 81}

c) Conjunto infinito. Cuando no pueden enlistarse todos y cada uno de los

elementos.

A = {x * x es un número natural} C = {1, 2, 3, 4, 5, ...100, 101, ....}

B = {x* x 1 < x < 2} D = {x* x es una estrella del universo}

d) Conjunto vacío. Es aquel que carece de elementos.

Æ = {x* x ¹ x}

Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir, que el

conjunto vacío es el subconjunto de todos los conjuntos.

A = {x* x + 1 = 0, x = - 1} B = {Los hombres de cuatro ojos}

x Ì Æ « x = Æ

e) Subconjunto. El conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si, cada

elemento de A es también elemento de B.

Si, A = {a, b, c} y B = { a, b, c, d, e } entonces A Ì B

Si, C = {1, 2, 3} y D = {2, 4, 6, 8} entonces C Ë D

f) Conjunto universal. Es aquel que contiene todos los elementos del tema de estudio, es

decir todo conjunto es subconjunto del conjunto universal.

Ejemplo: Tratándose de las letras: 1 = {todas las letras del alfabeto}

1.7 Operaciones entre conjuntos.

Los conjuntos se pueden combinar entre sí para obtener nuevas operaciones dentro de esas

combinaciones, merecen destacarse, la unión y la intersección de conjuntos.

Las operaciones con conjuntos se comportan de una manera muy semejante a las

operaciones con números corrientes, a continuación se definen las principales operaciones.

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UNIÓN Si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B,

obtendremos un tercer conjunto y la operación la llamaremos unión. La unión de

dos conjuntos A y B se define cono el conjunto compuesto por todos los elementos

que están en A o B o en ambos.

Se denota por A È B. Donde: A È B = {x* xÎA o xÎB}

Ejemplos:

1) Sean: A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, a, c, b, e}

A È B = {a, b, c, d, e, 1, 2}

Lo que representado en el diagrama de Vemnevler,

queda como:

2) Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}. Tenemos:

A È B = {1, 2, 3, 4, 5}

3) Si A = {1, 2, 3, 211, 5} y B = {2, 3, 4, 211, 5}

A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 211}

INTERSECCIÓN Si en lugar de reunir los conjuntos A y B

buscamos los elementos comunes a

ambos, estaremos efectuando la intersección de los conjuntos. La

intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto que

contiene a todos los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a

B y se denota por:

A Ç B = {x* xÎA y xÎB}

Ejemplos:

1) Si A = {2, 4, 6, 8} y B = {6, 8, 10, 12}

A Ç B = {6, 8}

Se adjunta el diagrama de Venevler.

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2) A = {a, b, c, d} y B = {c, b, e, f}

A Ç B = {b, c}

Se adjunta el diagrama de Venevler.

RESTA.

...