Teoria De Simetria Y Asimetria

INTRODUCCION

Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x,y) ∈ R ⇒ (y ,x) ∈ R

Asimétrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

Antisimétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero:

TEOREMA DE SIMETRIA Y ASIMETRIA

Simetría en un mundo asimétrico

Simetría, del latín symmetria, es la correspondencia exacta en tamaño, forma y posición de las partes de un todo.

La simetría es una de esas nociones que nos resultan más fáciles de intuir que de describir o comprender con rigor.

Tardamos menos en apreciar la simetría en las alas de una mariposa que lo que se tarda en decir "una operación de simetría es una transformación matemática que da lugar a una figura idéntica a la original o una copia especular de la misma“.

Asimetría

Se refiere a la propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y otros tipos de elementos en los que, al aplicarles una regla de transformación efectiva, se observan cambios respecto al elemento original. Surge una discordia cuando no somos capaces de reconocer qué parte es la original de la asimetría. Figura es aquella cuyos pesos compositivos son desiguales.

Las curvas de frecuencia presentan determinadas características que la distinguen una de otras, las más usuales son:

a) LAS CURVAS DE FRECUENCIA SIMETRICAS O BIEN FORMADAS

Se caracterizan por el hecho de que las observaciones tienen un equilibrio en sus frecuencias que van subiendo al respecto a sus frecuencias hasta llegar a una máxima y después descienden las frecuencias.

Observaciones: la media, la mediana y la moda coinciden

b) Las curvas asimétricas ó sesgadas.

Se caracterizan de dos formas:

1) Si la cola es mayor se presenta a la derecha, de la curva se dice que esta sesgado a la derecha a que tiene sesgo positivo y su relación es:

Moda Mediana

Observaciones: Para curvas de frecuencia unimodales que sean moderadamente sesgadas (asimétricas) se refiere la relación empírica

Media- moda = 3 (media- mediana).

Relaciones empíricas entre las medidas de dispersión

DEF:

Para distribución moderadamente asimétricas se tiene las formulas empíricas.

a) Desviación media= (desviaciones típica)

b) Rango semiintercuartilico= (Desviación típica)

Estas son consecuencias del hecho de que para distribuciones normales se tiene que las desviaciones media y el rango semiintercuartilico son, respectivamente, iguales a 0.7979 y 0.6745 veces la desviación típica.

Coeficiente de Asimetría de Pearson

DEF: Mide la desviación de la simetría, expresada la diferencia entre la media y la mediana con respecto a la desviación estándar del grupo de mediciones la formula es:

Ejemplo:

Asimetría=

Ejemplo:

a) Asimetría=

Sesgada a la derecha:

De los ejemplos anteriores

8, 11, 13, 15, 17,18,21,21,23,25,25,26, 29, 30, 30, 30, 35, 36, 42

Mediana= 25

Luego:

Asimetría=

Sesgada ala izquierda

Observaciones. Si Mediana entonces los datos son simétricos.

Uso de la Desviación Típica

La desviación típica e un conjunto de observaciones se emplean para medir las variaciones con respecto a la media de los valores de las observaciones.

Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.

Todo esto se resume de la siguiente forma:

Teorema de Tchebycheft o Chebyshev

La proporción de cualquier conjunto de observaciones que caen dentro de desviaciones típicas, medidas a partir medidas a partir de la media es al menos.

, esto es que estén en y

Donde

...