Trabajo Col 3 Calculo

Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?

y=x^2-3x-2

Derivamos la función:

y'=2x-3

Igualamos la ecuación a cero:

2x-3=0

2x=3

x=3/2

El punto crítico es 3/2

Obtenemos la segunda derivada:

y'=2x-3

y''=2 →+

Cuando obtenemos la segunda derivada de la función estamos analizando la concavidad de la curva de esta función, para determinar si el punto es máximo o mínimo sustituimos el punto crítico en la segunda derivada, si el valor da positivo es un mínimo dado que la concavidad está mirando hacia arriba y si el valor da negativo es un máximo dado a que la concavidad está mirando hacia abajo.

En este caso no hubo necesidad de sustituir puesto que la derivada no tiene una variable y el valor es 2 positivo, por lo tanto este punto crítico es un mínimo.

Continuamos hallando y, para ello sustituimos el valor de x en la ecuación inicial

y=x^2-3x-2

y=(3/2)^2-3(3/2)-2

y=9/4-(9/2)-2

y=-18/8-2

y=-34/8=-17/4

Las coordenadas son (3/2,-17/4)

y=〖3x〗^2-12x

Derivamos la función:

y'=6x-12

Igualamos la ecuación a cero:

6x-12=0

6x=12

x=12/6=2

El punto crítico es 2

Obtenemos la segunda derivada:

y'=6x-12

y''=6 →+

Cuando obtenemos la segunda derivada de la función estamos analizando la concavidad de la curva de esta función, para determinar si el punto es máximo o mínimo sustituimos el punto crítico en la segunda derivada, si el valor da positivo es un mínimo dado que la concavidad está mirando hacia arriba y si el valor da negativo es un máximo dado a que la concavidad está mirando hacia abajo.

En este caso no hubo necesidad de sustituir puesto que la derivada no tiene una variable y el valor es 6 positivo, por lo tanto este punto crítico es un mínimo.

Continuamos hallando y, para ello sustituimos el valor de x en la ecuación inicial

y=〖3x〗^2-12x

y=〖3(2)〗^2-12(2)

y=3(4)-12(2)

y=12-24

y=-12

Las coordenadas son (2,-12)

Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗=(∛(3(0)+1)-1)/0=(∛1-1)/0=0/0

El resultado nos da una indeterminación

Resolvemos utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de forma independiente, así tendríamos:

La derivada del numerador:

(∛(3x+1)-1)^'=〖((3x+1)〗^(1/3))'=1/3(3x+1)^(1/3-1)∙3= (3x+1)^(-2/3)= 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )

La derivada de x sabemos que es 1, entonces tendríamos:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗=lim┬(x→0) (1/∛(〖(3x+1)〗^2 ))/1=lim┬(x→0) 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )

Evaluamos:

lim┬(x→0) 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )=1/∛(〖(3(0)+1)〗^2 )= 1/∛1=1/1=1

El límite de la función lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗 cuando x tiende a 0 es 1

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗=lim┬(x→1)⁡〖(1-〖(1)〗^2)/(sen(π∙1))〗=0/0

El resultado nos da una indeterminación

Lo podemos resolver utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de forma independiente, así tendríamos:

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗=lim┬(x→1)⁡〖(-2x)/(cos(πx)∙π)〗

Evaluamos el límite y organizamos expresiones:

lim┬(x→1)⁡〖(-2x)/(cos(πx)∙π)〗=(-2(1))/(cos(π∙1)∙π)=(-2)/(π∙cosπ)

El coseno de π equivale a -1 por lo tanto nos quedaríamos:

(-2)/(π∙cosπ)=(-2)/(π∙-1)=(-2)/(-π)=2/π

El límite de la función lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗 cuando x tiende a 1 es igual a 2/π

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗=(e^(2(0))-1)/0=(e^0-1)/0=(1-1)/0=0/0

El resultado nos da una indeterminación de la forma 0/0

Lo podemos resolver utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos

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