Transfomaciones Lineales

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.3 La matriz de una transformación lineal

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Definición: Una transformación lineal de un espacio vectoial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para todo u,v Î V y todo a,b Î R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R y todo u,v Î V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. Para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.

Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:

T0V = T(00V) = 0T0V = 0W.

Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.

Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.

Ejemplos de transformaciones lineales.

1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre R. Se define una función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si

v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:

T(av + bv¢) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] = aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.

2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ® Rm definida por:

T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.

3. La derivación de polinomios, D: R[X] ® R[X], es lineal.

4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea w Î V un vector de norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la proyección ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y T(au + bv) = [(au + bv).w]w = a(u.w)w + b(v.w)w = aTu +bTv.

5. Si V = V1 Å V2, todo v Î V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 Î V1 y v2 Î V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2, como la función T: V ® V dada por Tv = v1 para todo v Î V.

Esta función es lineal porque si u = u1 + u2, con u1 Î V1 y u2 Î V2, entonces au + bv = au1 + bv1 + au2 + bv2 y T(au + bv) = T(au1 + bv1 + au2 + bv2) = au1 + bv1 = aTu + bTv

Se señala que puede ocurrir:

V = V1 Å V2 = V1 Å W, con V2 ¹ W. En ese caso la proyección de V sobre V1 según V2, es diferente de la proyección de V sobre V1 según W, porque entonces se tendrá para algunos vectores v de V, v = v1 + v2 = v¢1 + w, con v1,v¢1 Î V1, v2 Î V2 y w Î W, donde v2 ¹ w y por lo tanto v1 ¹ v¢1. Luego la proyección de v sobre V1 según V2 es v1, mientras que la proyección de v sobre V1 según W es v¢1 ¹ v1.

Si S y T son dos transformaciones lineales de V en W, se obtiene otra transformación lineal de V en W, la suma de S y T, definiendo:

(S + T)v = Sv + Tv para todo v Î V.

Para todo a Î R y toda transformación lineal T: V ® W se define (aT)v = a(Tv), para todo v Î V. Es claro que aT también es una transformación lineal de V en W.

Es simple verificar que con estas operaciones de suma de transformaciones y producto de números por transformaciones el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial.

Dadas dos transformaciones lineales, S: V ® U y T: U ® W, tales que el conjunto de llegada de S coincide con el conjunto de partida de T, está definida la composición de las transformaciones, que está dada por (TS)v = T(Sv) para todo v Î V. Es fácil demostrar que si S y T son lineales, la composición de S con T también es lineal.

En particular, está definida la composición de cualquier par de transformaciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. La composición es en este caso una operación en el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de V en V. Este es un producto asociativo porque la composición de funciones siempre lo es.

Por ejemplo, si D: R[X] ® R[X] es la derivación de polinomios, entonces dados a,b,c Î R, D3 + aD2 + bD + cI es la transformación lineal de R[X] en R[X] que a cada polinomio f le asocia el polinomio f¢¢¢ + af¢¢ + bf¢ + cf.

Si I es la transformación identidad de V en V, S, S1, S2, y T son transformaciones lineales de V en V y a Î R, se verifican fácilmente las siguientes igualdades:

TI = IT = T, a(TS) = (aT)S = T(aS),

T(S1 + S2) = TS1 + TS2, (S1 + S2)T = S1T + S2T.

Un espacio vectorial con un producto asociativo con estas propiedades, se dice que es un álgebra sobre R.

En la próxima sección se introducirá el álgebra Mn(R) de las matrices de n filas y n columnas de números reales.

A toda transformación lineal T: V ® W, se le asocian un subespacio del dominio V y un subespacio del codominio W.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definiciones

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

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