Triangulos

 Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

 Elementos del triángulo

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o, más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.

Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios.

Los elementos primarios corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

Los elementos secundarios corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

 Elementos primarios de un triángulo

Vértices

Son los puntos de origen de los segmentos.

Se nombran con letras mayúsculas: A, B, C ... Z.

Lados

Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

— — — — —

AB, BC, CA, ... XY, YZ

o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores

Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.

En los problemas se usan las últimas letras del alfabeto en minúscula para designar incógnitas.

Ángulos exteriores

Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior.

Se nombran generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con un subíndice.

 Elementos secundarios de un triángulo

Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:

alturas (h) bisectrices (b) simetrales (s)

transversales de gravedad (t) medianas

Alturas

Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.

Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).

El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).

El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

Bisectrices

Es la recta que dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad.

Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.

El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices

Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.

Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.

Siempre debe tenerse en cuenta que:

Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.

La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.

En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad

Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta, tb, tc ).

El punto donde se interceptan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

Medianas

Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.

La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.

La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.

FD = ½ AC; DE = ½ AB; EF = ½ CB

Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

 Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

 Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

• Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ).

• Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

 Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

 Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

 Propiedades de los triángulos

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.

El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.

Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es , donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

En geometría euclidiana2 la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

 Otras propiedades

• La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

• El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

• Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó radianes.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

• Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

 Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.

Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro Lados.

 Elementos de un cuadrilátero

Los componentes de un cuadrilátero son los siguientes:

• 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.

• 4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos.

• 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.

• 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común.

• 4 ángulos exteriores: prolongación de los lados.

 Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados:

1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

• Cuadrado

• Rombo

• Rectángulo

• Romboide

2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos; los otros dos no.

• Trapecio rectángulo

• Trapecio isósceles

• Trapecio escaleno

3. Trapezoide: los lados no son paralelos.

• Trapezoide simétrico o deltoide

• Trapezoide asimétrico

 Áreas de figuras planas

Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.

 Fórmula para calcular un triangulo

Si al rectángulo se le traza una diagonal, el rectángulo queda dividido en 2 triángulos congruentes, el triángulo N° 1 y el triángulo N° 2. Por lo tanto el área de un triángulo se obtiene dividiendo el área del rectángulo por dos

 Fórmula para calcular un cuadrado

El cuadrado es un rectángulo con lados iguales, es decir, es un rectángulo equilátero. La base "b" y la altura "a" son iguales al lado del cuadrado. Al ser un rectángulo su área es:

Área del cuadrado = Área del rectángulo = base x altura

Área del cuadrado = cuadrado del lado

El cuadrado es un rombo con ángulos iguales, es decir, es un rombo equiángulo. El cuadrado tiene diagonales iguales, y al ser un rombo su área es:

 Fórmula para calcular un Rectángulo

El área del rectángulo se obtiene multiplicando la base "b" por la altura "a"

Área del rectángulo = base x altura

 Fórmula para calcular un trapecio

a = altura; B=Base mayor; b=base menor

Transportando la distancia de la Base Mayor y de la base menor, el trapecio anterior se transforma en un paralelogramo cuya área es el doble del mismo.

Por lo tanto el área del trapecio es igual:

Base del paralelogramo = base = B + b, sustituyendo valores en la ecuación anterior se obtiene:

Por lo tanto el área del trapecio es igual:

 Fórmula para calcular un rombo

Si por los vértices del rombo se traza segmentos paralelos a las diagonales mayor "D" y diagonal menor "d" se forma un rectángulo de base "b" y altura "a", en donde la base del rectángulo es igual a la diagonal menor y la altura es igual a la diagonal mayor.

D=b y d=a

El área del rectángulo es el doble del área del rombo, por lo que el área del rombo es igual al área del rectángulo dividido por dos.

Fórmula para calcular una circunferencia

El círculo es un polígono regular de infinitos lados, en donde el radio representa la apotema. Por lo tanto el área el círculo es igual al área del polígono regular

El perímetro del círculo es igual a

Donde:

r = radio

Reemplazando valores y realizando las operaciones respectivas se tiene:

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