Variacion Numerica

Variación numérica en contexto

Variación numérica en contextoUn concepto con aplicación directa en la vida diaria es el de función. A través de las funciones podemos modelar matemáticamente un fenómeno de la vida real y describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo complicado de cada suceso descrito. Una variación representada gráficamente permite visualizar rápidamente el comportamiento de las variables, una respecto de la otra. Las actividades que se sugieren permiten ir construyendo un andamio cognitivo que permita explorar el concepto de función, usando variaciones numéricas de sencillas relaciones de variables y la práctica en la construcción de recipientes, en donde se relacione la forma del recipiente y el volumen del mismo. Actividades: Descargar el andamio cognitivo y resolverlo durante las sesiones de trabajo en el aula; realizar la lectura del artículo y llenar la plantilla para analizar un documento científico; observar los videos sugeridos y realizar un resumen para después ocuparlo en el marco de investigación de la práctica para construir un recipiente en donde se relacione el tamaño del recipiente y su volumen

Variación

Definición

Crecimiento puntual

Una función f(x) es creciente en x=a si existe δ>0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) < f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) > f(a).

f es creciente en x=a.

Análogamente se define el decrecimiento puntual.

Teorema

Condición suficiente para el crecimiento puntual

Si en un punto a la función f(x) tiene derivada positiva, la función es creciente en a.

H) f'(a)>0

T) f es creciente en x=a.

Demostración:

f(x) - f(a)

f'(a) = lim ----------- > 0 => (por teo. de conservación del signo)

x->a x - a

f(x) - f(a)

existe δ>0 / para todo x perteneciente al E*a,δ ----------- > 0

x - a

1) Si x < a => x - a < 0 => f(x) - f(a) < 0 => f(x) < f(a)

2) Si x > a => x - a > 0 => f(x) - f(a) > 0 => f(x) > f(a)

De 1) y 2) por def. de crecimiento puntual,

f es creciente en x=a.

Teorema

Condición suficiente para el decrecimiento puntual

Si en un punto a la función f(x) tiene derivada negativa, la función es decreciente en a.

H) f'(a)<0

T) f es decreciente en x=a.

La demostración es análoga a la anterior.

Definición

Máximo relativo

f(x) presenta un máximo relativo en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f(a).

f presenta un máximo relativo en x=a.

Definición

Mínimo relativo

f(x) presenta un mínimo relativo en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f(a).

f presenta un mínimo relativo en x=a.

Teorema

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

Si una función f(x) es derivable en un punto a, es condición necesaria para que presente un extremo relativo en a que f'(a) valga 0.

H) f presenta un extremo relativo en x=a

Existe f'(a)

T) f'(a)=0

Demostración:

Si f'(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual f es creciente en x=a. Absurdo.

Si f'(a) < 0 => por Cond. suf. para el decrecimiento puntual f es decreciente en x=a. Absurdo.

=>f'(a) = 0.

Nota: El recíproco no es cierto. Una función puede tener derivada nula en un punto y no tener un extremo relativo en el punto.

Contraejemplo: f(x) = x3

f'(0) = 0 pero f no presenta un extremo en 0.

Definición

Función monótona creciente en un intervalo.

f es monótona creciente en (a,b) si para todo x1 y para todo x2 pertenecientes a (a,b), tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2).

f es monótona creciente en [a,b] si es monótona creciente en (a,b) y para todo x perteneciente a (a,b) se cumple que f(a) < f(x) < f(b).

Análogamente se define función monótona decreciente.

Teorema

Condición

...