Vectores unitarios.

Vectores unitarios

Son aquellos vectores cuya magnitud es la unidad y están según la parte positiva de los ejes X, Y.

Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1.

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k.

Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.

Vectores unitarios para los ejes cartesianos:

Cosenos Directores de un vector

Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:

Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha = α, Beta = β, Gamma = γ) Y sus formulas para saber el tamaño del ángulo son:

Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|

Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|

Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|

Para saber el modulo del vector A se usa la fórmula:

EJEMPLO

Mediante los cosenos directores determinar los angulos de α, β, γ del vector (4, 5, 3)

Paso 1. Se hace la grafica

Paso 2. Se obtiene el modulo del vector con la formula

Paso 3. Sustituir el modulo del vector en la formula correspondiente a su eje.

Paso 4. Representar los ángulos en la grafica.

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Producto Punto

Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.

Sean V= <a,b> y W=<c,d>

Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.

Definición

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