FINCION EXPONENCIAL EJERCICIOS

FUNCION EXPONENCIAL.

Trazar la función y=a-x

Como a>1, esto implica que 0<1 / a<1, de modo que f(x)=a-x=1/ax= (1/a) x es una función exponencial con base menor que 1 por tanto tiene una gráfica similar a la de la función exponencial y=(1/2)x se construye la siguiente tabla de valores y=a-x para cierto valores de x.

X Y

-3 20.09

-2 7.39

-1 2.72

0 1

1 0.37

2 0.14

3 0.05

Función Exponencial ax donde a pertenece a los R+

El valor de reventa de cierto equipo es de $ f(t) , t en anos después de su compra, donde:

f(t)=1200+8000e-0.25t

¿Cuál es el valor del equipo en el momento de la compra?

¿Cuál es el valor del equipo 10 anos después de la compra?

Solución

Sea:

t: tiempo, en anos

f(x): valor del equipo, en función de t; en dólares

a. f(0)=1200+8000e^(-0.25(0))

f(0)=1200+8000e^0=1200+8000×1

f(0)=9200

El equipo costo 9200 dólares

b. f(10)=1200+8000e^(-0.25(10) )

f(10)=1200+8000e^(-2.5)

f(10)=1200+8000×0,082=1200+656

f(10)=1856

Al cabo de 10 anos el equipo tendrá un valor aproximado de 1856 dólares

x 0 5 10 15

y 9200 3440 1856 1384

FUNCIONES EXPONENCIALES

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b> 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0< b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

EJERCICIO.

Hacer la gráfica de la función exponencial f(x) = 2x

Tabulando para algunos valores cercanos a cero, por ejemplo en el intervalo comprendido entre [-3, 3].

x y

3 2-3 = 0.125

-2 2-2 = 0.25

-1 2-1 = 0.5

0 20 = 1

1 21 = 2

3 32 = 9

Graficando la función exponencial y = 2x:

el dominio es el conjunto de los números reales: Df = R

el rango es el conjunto de los números reales positivos: Rf = (0,

el eje de las abscisas (eje X) es asíntota horizontal de la gráfica.

la gráfica pasa por el punto (0, 1).

FUNCION EXPONENCIAL

-ENUNCIADO:

Una persona deposita 1200 dolares en régimen de interés compuesta a una taza de interés del 2% mensual durante 1 año y 3 meses.

-Preguntas:

¿averiguar el capital final obtenido?

-Analisis y procedimiento:

C(i)= 1200 dolares

Ti= 2% mensual

todos los porcentajes de crecimiento y disminución de una determinada cantidad lo vamos a pasar a fracción unitaria 2/100 = 0.02 mensual

Cf=??

T= 1 año y 3 meses = 15 meses

Lo convertimos todos en meses por que la taza es mensual siempre la taza y el tiempo tiene que estar en la misma unidad

Ahora aremos una tabla de valores para mostrar el comportamiento del capital

Podríamos llegar hasta el mes 15 y conseguir la respuesta pero es mas comodo siempre buscar una formula que respresenta la situación.

La formula es una función exponencial:

Cf= Ci * (1 + i) elevado al tiempo

Y = Cf X= t

Cf= 1200 * (1+ 0.02) t

Cf=1200 * 1.02 t

-Respuesta:

Cf= 1200 * 1.02 elevado 15 = 1615,04 y este seria el capital obtenido al mes 15

Y la ganacia seria

Int= 1615,04 – 1200= 415.04 centavos

FUNCION EXPONENCIAL

Notación matemática:f( x ) = ax

Enunciado: una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés del 12% anualmente.

Función:A (t)= Pert

Notas especiales: hay que tener en cuenta las variaciones que se tiene en el año la tasa de interés

A (t)= cantidad después de t años

p: principal

r : taza de interés por año

t: número de años

Preguntas: calcula la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés del 12% por año capitalizado de forma continua

Análisis

p: 1000

r: 0.12

t:3

Procedimiento:

A (t)= Pert

A(3)=1000e(0.12)3

A (3)=1000e 0.36

Respuesta: A(t) = 1433.33

Función: Exponencial

“Préstamo Bancario”

Enunciado:

Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4000 durante 3 años a una tasa de interés del 10% que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.

Análisis:

Identificamos los datos del problema:

C = S/. 4000

t = 3 años.

Tasa = 10%

Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que anualmente los intereses se acumulan al capital.

Como

M – C + I M – C + C.r.t M – C (1 + r.t)

Calculemos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.

Como la capitalización es anual t = 1, luego utilizaremos la formula M = C (1 + r.t).

Reemplazando los datos obtenemos:

Primer año: M1 = 4000 (1 + 0.1(1)) M1 = 4000 (1,1) M1 = 4400

Segundo año: M2 = M1 ( 1 + 0.1(1)) M2 = 4400 (1,1) M2 = 4840

Tercer año: M3 = M2 (1 + 0.1 (1)) M3 = 4840 ( 1,1) M3 = 5324

Luego, Javier un monto de 5324 nuevos soles.

MONTO COMPUESTO ANUALMENTE

Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final del tiempo previsto para el préstamo, es decir una formula del interés compuesto, así:

Primer año: M1 = C0 (1 + r)

Segundo año: M2 = M1 ( 1 + r) M2 = C0 (1 + r) (1 + r) M2 = C0 (1 + r )2

Tercer año: M3 = M2 (1 + r) M3 = C0 (1 + r)2 . (1 + r) M3 = C0 ( 1 + r)3

N-ésimo año: M1 = C1. (1 + r)1.

Este es el monto de un capital C0 impuesto al r % de interés compuesto anual.

Cuando el tiempo t dado en años, no es un número natural utilizamos la formula:

M (t) – C1. (1 + r)t

Donde:

M(t): Monto o capital futuro

C0: Capital inicial

r: tasa de interés anual, expresada como numero decimal

t: tiempo (en años)

NOTA ESPECIAL:

Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M (t) es una función exponencial cuya variable es el tiempo t.

FUNCION EXPONENCIAL

Una función exponencial para graficar es .

Función exponencial

La población. La población proyectada P de una ciudad está dada por

P = 125.000 (1,12)t/20

Donde t es el número de años a partir de 1995.

PREGUNTA ¿Cuál es la población estimada para el año 2015?

Solución:

Como en la ecuación es (1 + r)t y r es la tasa de crecimiento; podemos deducir que en el ejercicio la tasa de crecimiento por año es de 12 %. Este porcentaje se divide en 100 y entonces tendríamos 0,12. Se hace con todos los porcentajes de crecimiento.

Aplicando la ecuación:

M (t) = 125.000 (1 + 0,12)t/20

M (t) = 125.000 (1,12)20/20 Ecuación del Ejercicio

M (t) = 125.000 (1,12)

M (t) = 140.000 Población para el 2015.

Crecimiento de la Población en los 20 años:

M – P = 140.000 – 125.000 = 15000 Crecerá en 20 años

Tabla de Crecimiento Poblacional

Año Población

1995 125.000

2000 128.587

2005 132.287

2010 136.087

2015 140.000

M (t) = 125.000 (1,12)0/20

M (t) = 125.000 (1,12)5/20

M(t) = 125.000 (1,12)10/20

M (t) = 125.000 (1,12)15/20

M (t) = 125.000 (1,12)20/20

Gráfica de la función crecimiento poblacional exponencial

FUNCION EXPONENCIAL

El número de usuarios de Internet en el distrito de Independencia

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