Hipotesis

                         [pic 1]

                                           Universidad Santo Tomas

                                           Departamento de Ciencias Básicas

                                           Estadísticas II

                                           Ayudante: Cristian Cornejo

                                                  Gúia nº2 Estadística II

Ejercicios de métodos de estimación

1. Sea  X1, X2, X3,..., Xn una m.a.(n) de una población la cual se supone tiene una función de densidad de probabilidad dada por:

f(x) = exp{}, x>0,  > -1 con E(X) = 1 +   y var(X) = [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

1. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud  de  basada en la muestra aleatoria dada:[pic 7]

1. Analice las propiedades de insesgamiento  y consistencia de este estimador.

1. En un proceso de elaboración de una pieza sometida a fricción, se debe mantener la temperatura a cero grados Celsius. Se ha descubierto que la variación de la temperatura se distribuye según una variable aleatoria cuya función de densidad es:

f(x) = exp(-x2/2())[pic 8][pic 9]

1. Encuentre el estimador máximo verosímil de .[pic 10]
2. Estudie la propiedad de insesgamiento, sabiendo que E(X) = 0 y                V(X) = [pic 11]

.  

1. Ingenieros Japoneses han inventado un sistema para determinar la construcción de portafolios de inversión, considerando las medias móviles de la tasación de las acciones, provocadas por el terreno, la lluvia, las sequías y otras fuentes de interferencia. Los investigadores han demostrado que el precio de las acciones agrícolas X puede ser modelada por una distribución Weibull, con parámetro       = 2 y  > 0, tal que: [pic 12][pic 13]

f(x)  =  exp    x > 0.[pic 14][pic 15]

1. En base a una muestra aleatoria de n transacciones en la bolsa, determine el estimador máximo verosímil de .[pic 16]
2. Según su estimador obtenido en a), determine una estimación puntual para   , si  = 51,9[pic 17][pic 18]

1. La empresa de combustibles Petropec, ha determinado a través de la historia de sus ventas de combustible(en miles de litros), tienen un comportamiento que pudiera ser modelada mediante la función de probabilidad dada por la expresión:

[pic 19]

1. Determine en base a una muestra aleatoria de tamaño n, el EMV de  [pic 20]
2. Se toma una muestra aleatoria de las ventas de combustible (en litros) de ocho días, encontrándose que las ventas fueron:

1700    2300     1789    2345     1978      2820      1984      2134

Encuentre  la estimación máxima verosímil de [pic 21]

1. Sean X1, X2. . . , Xn  v.a. provenientes de una muestra aleatoria de una población con distribución exponencial (λ), en donde la esperanza poblacional está dada por la fórmula E(X) = 1/ λ . Encontrar un estimador para el parámetro mediante el método de momentos.

                                       .    

1.  Sea X una variable con distribución geométrica de parámetro p, y su función de densidad está dada por:

f(x) =   siendo x =  0, 1, 2…  [pic 22]

X corresponde al número de fallos antes del primer éxito.

Además E(X) = . Encuentre el estimador de momentos para p  y calcule la estimación de p en base a la muestra geométrica: 3, 0, 2, 0, 1, 5, 2, 5, 15 y 1.[pic 23]

Ejercicios de propiedades de los estimadores

1. Sea  X1, X2, X3,..., X7, una muestra aleatoria de una población que tiene una media μ   y varianza σ2. Considere los siguientes estimadores de μ.

                   = (X1  + X2  +.....+ X7)/ 7[pic 24]

                   = (2 X1  -  X6  + X 4) / 2[pic 25]

            ¿Alguno de estos estimadores es insesgado?

            ¿Cuál estimador es el mejor? Justifique.

1. Suponga que se tiene una m.a.s.(n) tomada de una población X, tal que E(X) = μ

Var(X)= . Explique por qué la media muestral es un mejor estimador para μ que la mediana muestral.[pic 26]

1. Suponga que se tiene una muestra aleatoria de tamaño 3n tomada de una población X, tal que E(X) =  y V(X) = . Sean [pic 27][pic 28]

                        =      y      = [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

dos estimadores de . ¿Cuál es el mejor estimador?[pic 33]

1. Sea X1, X2, … , X5 una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal con media   y varianza . Considere las estadísticas                            T1 =  y    T2 =  como estimadores de .  Identificar la estadística que posee la varianza más pequeña.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

1. En un estudio sobre la demanda de litros de café, desde una máquina expendedora, se estableció que la demanda puede ser modelada por la siguiente función de probabilidad, que depende de un parámetro desconocido  .[pic 39]

f(x) =  [pic 40]

Además se sabe que E(X) =   y var(X) =  [pic 41][pic 42]

1. Encuentre el estimador de momentos de .[pic 43]

1. Determine el error cuadrático medio del estimador de .[pic 44]

1. En otro estudio realizado por ET & Company, se establecieron los siguientes estimadores para  :[pic 45]

 =      y     =  [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

1. Determina cuál de estos estimadores es insesgado.
2. De los estimadores planteados por ET & Company, encuentre sus respectivos errores cuadráticos medios y concluya.

1. Sea X1, X2, … , Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria x con función de densidad dada por f(x) =  [pic 50]

Se sabe que E(X) =  y que var(X) = [pic 51][pic 52]

Se tienen los siguientes estimadores:

  =          =           = [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Determine cuáles de estos estimadores son insesgados y además calcule sus errores cuadrático medio.

1. Sea una muestra aleatoria X1, X2, … , Xn  proveniente de una población con función de probabilidad dada por:

f(x) =  , si 3 < x <   con E(X) =       y var(X) = [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

Encentre el estimador de momentos del parámetro  y su error cuadrático medio.[pic 63]

1. Los depósitos que diariamente recauda un cajero de un banco, pueden ser modelados por la función de densidad dada por:[pic 64]

fX(x/) =            ,si x > 0[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

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