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I. Concepto de Integral Definida

Vamos a introducir el concepto de integral definida a partir del problema del cálculo de áreas ya que este tipo de enfoque permite una presentación grafica muy sencilla de comprender.

Empezamos considerando una función de una variable y = f(x) definida sobre el intervalo [a, b] y que toma valores positivos. Queremos calcular el área comprendida entre la curva y = f(x), el eje de abscisas, X = a y X = b

El problema se aborda, desde un punto de vista teórico, mediante las sumas inferiores y superiores, que utilizan rectángulos con bases cada vez más estrechas y que, intuitivamente, nos van dando el área requerida cada vez con mayor precisión.

Definición: Consideramos una función continua y = f(x) definida sobre el intervalo [a, b]. En este caso, se puede probar que el supremo de las sumas inferiores coincide con el infimo de las sumas superiores, y este número común recibe el nombre de integral definida de y = f(x) sobre el intervalo [a,b], y se representa por:

II. Soluciones Exactas

Las sumas inferiores y superiores son necesarias para la formalización matemática del concepto pero, si se quiere aplicar ese proceso al cálculo efectivo de integrales definidas, nos encontramos con que dicho proceso es tedioso en los casos sencillos e inaplicables en los casos complicados. Afortunadamente, existen procedimientos sencillos, basados en una maravillosa y sorprendente relación que existe entre derivación e integración.

Definicion.- Se llama primitiva (o anti derivada) de una función y =f(x) a otra función, F(x), tal que F’ (x) = f(x).

La utilidad de las primitivas procede del siguiente resultado:

Teorema.- Consideramos una función continua y = f(x) definida sobre el intervalo [a, b]. Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

Observaciones:

1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relación las integrales con las derivadas.

2. Para hallar la integral definida seguiremos el siguiente proceso:

a) Se halla una primitiva cualquiera de la función

b) Se sustituyen en esta primitiva los límites de integración -el superior y el inferior- y se restan los resultados.

Ejemplo:

Hallar la integral definida de

Solución: Hallamos una primitiva luego:

III. Aplicaciones de la Integral Definida en Distancias

Distancia: La distancia total que un objeto recorre rectilíneamente en un intervalo de tiempo [t1, t2] está dada por la integral definida:

Diferencia de posición de un móvil entre dos instantes.

Consideramos una partícula o un objeto que se mueve (un móvil) a lo largo de un eje con una velocidad v(t), y queremos calcular la diferencia de posición de este móvil entre dos instantes t = a y t = b.

Llamaremos P = P(t) a la función que describe la posición que ocupa el móvil a lo largo del eje en función del tiempo. Recordemos que, en Física, v(t) es la velocidad de variación de la posición P(t). Por lo tanto, P ‘(t) = v(t), es decir, P(t) es una primitiva de v(t). Por lo tanto, aplicando el resultado que relaciona las primitivas con la integral definida, tenemos:

“Diferencia de posición entre t = a y t = b”

Distancia total recorrida por un móvil entre dos instantes

Primer caso:

Distancia total recorrida por un móvil, cuando la velocidad es siempre positiva.

Consideramos un objeto que se mueve (un móvil) con una velocidad v(t) ≥ 0, y queremos calcular la distancia total recorrida por este móvil entre dos instantes t= a y t= b.

Volvemos a llamar P(t) a la función que describe la posición que ocupa dicho

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