Desnutricion

PLANOS CRISTALOGRAFICOS.

Es definido por tres átomos no alineados, en una red cristalina, uniendo tres nudos de una celdilla, determinados por los índices de Miller. (cristalografo ingles Hallowes Miller 1801-80) conversión universal se escogen un plano que no pase por el origen los índices de un plano cortado los ejes (no tienen porque ser ángulos rectos los ejes coordenados) en:

(1) OX, OY, OZ, en los puntos de las coordenadas:

(2) m, n, p, valor de corte del plano a los ejes.

(3) h, k, l, proporcionales a:

(4) 1/m, 1/n, 1/p: son los más pequeños números enteros

Pueden tener valor negativos pero siempre enteros.

Se expresa entre paréntesis por ejemplo (001) si es negativo un numero se le pone un símbolo menos sobre el.

Distancia interpretada en el sistema cúbico entre dos planos paralelos muy cercanos con los mismos índices de Miller (hkl) se designa dkhl igual a la distancia desde el origen elegido contenido en un plano y otro plano paralelo con los mismos índices que sea cercano a él. Siendo el parámetro de la celdilla.

Familias de Planos a los grupos de planos de redes equivalentes que están relacionados por la simetría del sistema cristalino, y a los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves, por ejemplo en el cúbico los planos (100) (010) (001) desiguales pero colectivamente relacionados por la simetría del sistema se les denominan {100} a esta familia de planos.

A lo largo de este plano es donde ocurren las fallas de un cristal, trayendo consecuencias prácticas como la deformación o fractura de un material sometido a esfuerzo.

En el sistema hexagonal, los planos reticulares están definidos de manera ligeramente diferente. Se toman cuatro ejes de referencia que pasan por el centro del hexágono de la base, tres dirigidos según las diagonales de este hexágono forman entre ellos un ángulo de 120º y el cuarto es el eje del prisma. Esta nomenclatura de cuatro índices tiene la ventaja de hacer aparecer las simetrías.

La forma de obtener los índices de Miller es igual a lo explicado anteriormente solo que con un eje más.

Dirección Cristalográfica Definida Por Dos Nudos De La Red.

Los índices de direcciones cristalográficas corresponden a sus componentes en las direcciones de tres ejes del sistema, componentes medidos en unidades indivisibles de la malla.

Todas las direcciones paralelas tienen los mismos índices de Miller de dirección [uvw].

Las direcciones cristalográficas equivalentes son las que tienen los espacios atómicos a lo largo de cada dirección igual. Por ejemplo, en un cubo, [100], [010], [001], e igual con valores negativos de la unidades la familia de índices.

Índices de Miller.

Los átomos en un sólido están empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden:

- de corto alcance (sólidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre átomos y más débiles– van der Waals- entre moléculas ).

- de largo alcance (sólidos cristalinos)

En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base).

La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ).

Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl), para direcciones [hkl]).

La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl); un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie.

El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente superficie /plano:

Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z.

En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞.

Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias.

Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas fraccionarias (x/a, y/b, z/c).

En nuestro caso ( celda cúbica), las coordenadas fraccionarias serán: a/a, ∞/a, ∞/a, es decir 1,∞, ∞.

Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias

Este paso final genera los índices de Miller que, por convención, han de especificarse sin estar separados por comas. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo.

Los recíprocos de 1 y ∞, son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico.

Otros ejemplos:

1- La superficie (110)

cortes: a,a,∞ ; cortes fraccionarios: 1,1,∞ ; índices de Miller: (1,1,0)

2- La superficie (111)

cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; índices de Miller: (1,1,1)

Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). Estas superficies tienen especial importancia, pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller.

3- Las superficies (210)

cortes: a/2, a,∞; cortes fraccionarios: 1/2, 1,∞ ; índices de Miller: (210)

Notas adicionales:

(i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos)

(ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001)

(iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales, por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0001))

En el dibujo las tres superficies están relacionadas por los elementos de simetría del cristal cúbico y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetría y equivalentes a la superficie (100), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetría equivalente puede ser descrita por la notación {100}, en la que los índices de Miller de una de las superficies están representados entre llaves.

En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl], definido con respecto al origen, son perpendiculares. Esta característica es única del sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas de simetría inferior.

La distancia entre planos en el sistema cúbico viene dada por:

Ejemplo MIL1

Determinar los valores de la intersección con los ejes x, y, z de un plano cuyos índices de Miller son (362). Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cúbica de parámetro de red igual a 3.5 A, calcular la distancia interplanar.

A partir de los índices de Miller (362) se obtienen los cortes fraccionarios 1/3, 1/6, 1/2 y se reducen a fracciones equivalentes con los números enteros menores posibles (aplicando el mcm= 6), obteniéndose 1/2,1,1/3. Los cortes con los ejes serán, por tanto x=2, y=1, z=3.

La distancia entre estos planos se obtiene a partir de:

Dirección de celdas:

1.2. Celdas Unitarias – Parámetros Reticulares

1.2.1. Celdas Unitarias

La estructura atómica influye en la forma en que los átomos se unen entre sí; esto además nos

ayuda a comprender la clasificación de los materiales como metales, semiconductores,

cerámicos y polímeros y nos permite llegar a ciertas conclusiones generales referentes a

propiedades mecánicas y comportamiento físico de estas cuatro clases de materiales.

La estructura electrónica del átomo, que queda descrita por cuatro números cuánticos ayuda a

determinar la naturaleza de los enlaces atómicos y las propiedades físicas y mecánicas de los

materiales.

a) Enlace metálico: encontrado en los metales, los electrones de valencia se mueven con

facilidad, en consecuencia, los metales

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