ALGEBRA LINEAL: MATRICES LINEALES
Enviado por 70869 • 31 de Julio de 2017 • Ensayos • 706 Palabras (3 Páginas) • 240 Visitas
MATRICES DE TRANSFORMACIÓN LINEAL
[pic 1]
- Sean u y w dos vectores en R2
[pic 2]
Si realizamos la suma en la transformación
[pic 3]
Se suman los componentes:
[pic 4]
Se comprueba el axioma de la suma
Ahora se comprueba el axioma de producto, Sea:
[pic 5]
Entonces:
[pic 6]
Si factorizamos a k:
[pic 7]
Entonces comprobamos el axioma de producto.
Por lo tanto al cumplirse las 2 hay una transformación lineal
- Sean U y V dos espacios vectoriales
Sean u y v dos vectores en V y ‘c’ un escalar
T(u + v) = T(u)+T(v)
T(cu) = cT(u)
| x1 | |||||||||||||||
u | = | y1 | ||||||||||||||
| x2 | |||||||||||||||
v | = | y2 | ||||||||||||||
T |
|
| x1 | + | x2 |
| = | T | x1 | + | T | x2 | ||||
|
| y1 |
| y2 |
|
| y1 |
| y2 | |||||||
|
| |||||||||||||||
|
| |||||||||||||||
T |
| x1+x2 | = | (-x1) | + | (-x2) | = | (-x1)-x2 | ||||||||
| y1+y2 |
| y1 |
|
| y2 |
| y1+y2 | ||||||||
|
| |||||||||||||||
| (-x1)-x2 | = | (-x1)-x2 | La propiedad suma se cumple | ||||||||||||
| y1+y2 |
|
| y1+y2 |
| |||||||||||
T | cx1 | = | cT | x1 | ||||||||||||
| cy1 |
| y1 | |||||||||||||
| (-cX1) | = | c | (-x1) | ||||||||||||
| cy1 |
|
| y1 |
| La propiedad producto se cumple | ||||||||||
por lo tanto la transformación | ||||||||||||||||
| (-cX1) | = | (-cX1) | es lineal | ||||||||||||
| cy1 |
| cy1 |
- Sean U y V dos espacios vectoriales
Sean u y v dos vectores en V y ‘c’ un escalar
T(u + v) = T(u)+T(v)
T(cu) = cT(u)
| x1 | |||||||||||||||
u | = | y1 | ||||||||||||||
| x2 | |||||||||||||||
v | = | y2 | ||||||||||||||
T |
|
| x1 | + | x2 |
| = | T | x1 | + | T | x2 | ||||
|
| y1 |
| y2 |
|
| y1 |
| y2 | |||||||
|
| |||||||||||||||
T |
| x1+x2 | = | (-x1) | + | (-x2) | = | (-x1)-x2 | ||||||||
| y1+y2 |
| 0 |
|
| 0 |
|
| 0 |
| ||||||
|
| |||||||||||||||
| (-x1)-x2 | = | (-x1)-x2 | La propiedad suma se cumple | ||||||||||||
| 0 |
|
| 0 |
| |||||||||||
T | cx1 | = | cT | x1 | ||||||||||||
| cy1 |
| y1 | |||||||||||||
| (-cX1) | = | c | (-x1) | ||||||||||||
| 0 |
|
|
| 0 |
| La propiedad producto se cumple | |||||||||
por lo tanto la transformación | ||||||||||||||||
| (-cX1) | = | (-cX1) | es lineal | ||||||||||||
| 0 |
|
| 0 |
|
[pic 8]
| x |
|
| 1 |
| 0 |
| 0 |
|
|
| 2 |
| -1 |
| 5 |
| 2x-y+5z | ||||||
T | y | = | T | x | 0 | + | y | 1 | + | z | 0 |
| = | x |
| + | y |
| + | z |
| = |
| |
| z |
|
| 0 |
| 0 |
| 1 |
|
|
| 3 |
| 4 |
| -3 |
| 3x+4y-3z | ||||||
| 3 |
| 2(3)-(-4)+5(5) |
|
| 35 | ||||||||||||||||||
T | -4 | = |
| = |
| |||||||||||||||||||
| 5 |
| 3(3)+4(-4)-3(5) |
|
| -22 |
[pic 9]
La matriz A es una transformación de
Se aplicará la transformación a las bases canónicas es decir cuando (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) para R3 y se realizarán los productos como si fuera una combinación lineal:
Entonces hacemos los productos:
[pic 10]
El conjunto de todas las combinaciones lineales es la transformación A.
...