Transformaciones Lineales y Representación Matricial de una Transformación Lineal

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Tecnológico Nacional de México[pic 2][pic 3]

Instituto Tecnológico de Tláhuac

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Transformaciones Lineales y Representación Matricial de una Transformación Lineal.

Carrera: Ingeniería Mecatrónica.

Materia: Álgebra Lineal.

Alumnos: 

• Medina Hernández Luis Alejandro.  
• Alonso Gutiérrez Abimael. 

Docente:  Martínez Zapotitla Janett Karol

Grupo: 3M1.

Fecha de entrega: 2 de diciembre de 2019.

                                                                                                     Ciudad de México.

Índice

Introducción.        1

Transformaciones Lineales.        2

Tres Observaciones Sobre Notación.        2

Linealidad. Recorrido de y núcleo de una transformación lineal.        5

Una transformación lineal de  en .        8[pic 5][pic 6]

La transformación cero.        8

Transformación Identidad.        9

Transformación de reflexión.        9

Transformación de  dada por la multiplicación por una matriz de .        9[pic 7][pic 8]

Transformación de rotación.        9

Transformación de proyección ortogonal.        9

Dos operadores de proyección.        10

Operador de transposición.        10

Operador integral.        10

Operador diferencial.        10

Una transformación que no es lineal.        10

Álgebra de las Transformaciones Lineales.        10

Adición y Multiplicación de un Escalar.        11

Matriz de una Transformación Lineal        12

Toda transformación Lineal es Matricial        17

Operativa del Trabajo con Transformaciones        17

Referencias        20

Introducción.

En diversas ramas de la matemática, la física y las ciencias sociales, es frecuente utilizar modelos que emplean funciones vectoriales de variable vectorial; es decir, funciones del tipo  donde  y  son vectores. A tales funciones se les conoce usualmente como “Transformaciones”.[pic 9][pic 10][pic 11]

En la práctica, muchos problemas que involucran transformaciones más generales suelen resolverse aproximando éstas a transformaciones lineales. (Solar González & Speziale de Gúzman, 2012)

Transformaciones Lineales.

Definición.

Si y  son espacios vectoriales una función  recibe el nombre de transformación. Los espacios  y  se llaman, respectivamente, dominio y codominio de la transformación.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Así, por ejemplo, la función  definida por la regla[pic 17]

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es una transformación. Los espacios vectoriales  y  son, respectivamente, el dominio y codominio de .[pic 19][pic 20][pic 21]

Respecto a la expresión anterior cabe aclarar que se acostumbra escribir , en lugar de , con el propósito de simplificar la notación.[pic 22][pic 23]

Para la transformación  definida anteriormente se tiene, por ejemplo, que:[pic 24]

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Esto es, la imagen del vector (1,2,3) bajo la transformación  es el vector (1,2); también se dice que  transforma al vector (1, 2, 3) en el vector (1, 2). Otra manera de indicar esto es la siguiente: (Solar González & Speziale de Gúzman, 2012)[pic 26][pic 27]

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Tres Observaciones Sobre Notación.

1. Se escribe  para indicar que  toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real ; esto es,  es una función con V como su dominio y un subconjunto de   como su imagen.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]
2. Se escriben indistintamente  y . Denotan lo mismo; las dos se leen “ de ”. Esto es análogo a la notación funcional .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capitulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). Sin embargo, a excepción de la breve intervención de la sección 5.5, sólo se manejarían espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminará la palabra “real” en el análisis de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. (Grossman, 2007)  

Algunos otros ejemplos de imágenes de vectores de  bajo esta misma transformación son:[pic 39]

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        [pic 41]

Esta transformación tiene la siguiente interpretación geométrica: si  representa un segmento dirigido cualquiera del espacio cartesiano tridimensional,  transforma dicho segmento en su proyección sobre el plano .[pic 42][pic 43][pic 44]

Consideremos ahora otra transformación de  en , definida por:[pic 45][pic 46]

 [pic 47]

Como se ve, la imagen de cualquier vector de  bajo esta transformación es una pareja ordenada cuya segunda componente es el triple de la primera. Por ello, no todos los vectores de  son imagen de algún vector del dominio, sino únicamente aquellos de la forma .[pic 48][pic 49][pic 50]

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