Matrices transformaciones lineales

Actividad de aprendizaje 1. Matrices y determinantes

1. Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones es lineal:

1. 3x-ky-7z=35
2. x+ᴨy+ez=log5
3. 2x+6y-5yz=-46

Solución:

a). Se tiene que la ecuación a es lineal, para ello en la ecuación tomamos como variable z

3x=ky+7(z+5)

Invertimos la igualdad en 3 x = k y + 7 (z+5) con el fin de pasar z del otro lado.

3 x = K y+7 (z + 5) es equivalente a k y + 7 (z + 5) = 3 x:

K y + 7 (z + 5) = 3 x

Ahora escribimos el polinomio lineal en el lado izquierdo en forma estándar.

Expandir cada término de la izquierda:

7 z + 35 + k y = 3 x

Restamos 35 + K y de ambos lados:

7 z = -35 + 3x – k y

Resolvemos z. Dividimos ambos lados por 7:

Obtenemos como resultado: que es una ecuación lineal.

Z=3x/7-ky/7

b).  x+ᴨy+ez=log5 No es una ecuación lineal.

El hecho de que tenga exponencial nos está indicando que no es una ecuación lineal.

c). 2x+6y-5yz=-46 No es una ecuación lineal porque el producto de dos incógnitas es de segundo grado.

1. Determinar si:

a) u = (4, 6, -7, 5)

b) v = (2, 3, 10, 5)

Son soluciones de la ecuación [pic 1]

Solución:

Al sustituir u en la ecuación tenemos que son puntos que pertenecen al plano, pero al sustituir v en la ecuación, se demuestra que la ecuación no es la solución de la ecuación.

Por lo tanto:

a) 4*4 -6*6-2*-7+ 3*5=9 Si es una solución de la ecuación.

b) 4*2 -6*3-2*10+ 3*5= 15 No es una solución de la ecuación.

1. Considere la ecuación lineal 5x – 2y + 3z = 31

Hallar:

a) Tres soluciones particulares.

b) La solución general.

Solución a:

1. x es la primera incógnita. Se asigna cualquier valor a las variables y y z y se despeja x para obtener la solución. Por ejemplo, hagamos y = 1 y z = 1. 

,          ,   ,  ,  ,  ,  [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

u1= (6,1,1) es una solución.

2. Se hace y = 1, z = 0. Sustituyendo:

,    ,    ,   ,  , [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

u2= (33/5,1, 0) es una solución.

3. Se hace y = 0, z = 1. Sustituyendo:

,    ,    ,   ,  , [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

u3= (28/5, 0,1) es una solución.

Solución b:

La solución general de la ecuación , se obtiene:[pic 21]

Se asignan valores arbitrarios, o parámetros, a las variables libres, como en este caso, y = a, z = b. se sustituyen en la ecuación obteniendo:

,   ,  [pic 22][pic 23][pic 24]

,  y = a, z = b  o    u = (, a, b). Es la solución general.[pic 25][pic 26]

1. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de Gauss:

Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss:

[pic 33]

Dividimos el 1-ésimo por 4:

[pic 34]

De la segunda sustraigamos la primera línea, multiplicada por 5:

[pic 35]

Dividimos 2-ésimo por -5.75

[pic 36]

De la primera sustraigamos la 2 línea, multiplicada por 0.75:

[pic 37]

Resultado: x=5, y=-8

[pic 38]

3x + 7y = 6

9x – 3y = 90

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por el método de eliminación de Gauss:

[pic 39]

Dividimos el 1-ésimo por 3:

[pic 40]

De la segunda sustraigamos la primera multiplicada por 9:

[pic 41]

Dividimos el 2-ésimo por -24:

[pic 42]

De la primera sustraigamos la segunda línea multiplicada por 7/3:

[pic 43]

Resultado: x=9, y=-3

6x +8y = 68

13x + 6y = 68

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por el método de eliminación de Gauss:

[pic 44]

Dividimos el 1-ésimo por 6:

[pic 45]

De la segunda fila sustraigamos la primera multiplicada por 13:

[pic 46]

Dividimos el 2-ésimo por -34/3:

[pic 47]

De la primera sustraigam0os la segunda multiplicada por 4/3:

[pic 48]

Resultado x=2, y=7

1. Encuentre las soluciones (si existen) a los sistemas dados por el método de Gauss:

a)   [pic 61]

   [pic 62]

[pic 63]

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:

[pic 64]

Dividimos el 1-ésimo por 5:

[pic 65]

De 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 4,-6:

[pic 66]

Dividimos el 1-ésimo por 9.6:

[pic 67]

De13filas sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, -11.4:

[pic 68]

Dividimos el 3-ésimo por -3.1875:

[pic 69]

De la 1, 2 filas sustraigamos la 3 multiplicada por -23/48, -37/48

[pic 70]

Resultado x1=3, x2=7, x3=-9

b)[pic 71]

     [pic 72]

    [pic 73]

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:

[pic 74]

Dividimos el 1-ésimo por 3:

[pic 75]

De 2, 3 sustraigamos la línea 1, multiplicada por 10, 2

[pic 76]

Dividimos 2-ésimo por 2/3:

[pic 77]

Dela 1, 3 sustraigamos la segunda línea multiplicada por 1/3, -17/3:

[pic 78]

Dividimos el 3-ésimo por -214:

[pic 79]

De la 1, 2 sustraigamos la 3 línea multiplicada por 15, -38

[pic 80]

Resultado: x1=5, x2=-12, x3=4

       c)[pic 81]

          [pic 82]

                        [pic 83]

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:

[pic 84]

Dividimos el 1-ésimo por 5:

[pic 85]

De la 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 1, 6:

[pic 86]

Dividimos la 2-ésima por 2.4:

[pic 87]

De la 1, 3 sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, 3.4

[pic 88]

Dividimos la 3-ésima por 2/3:

[pic 89]

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por -1/3, -2/3:

[pic 90]

Resultado x1=0, x2=0, x3=0

d)[pic 91]

     [pic 92]

    [pic 93]

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:

[pic 94]

Dividir el 1-ésimo por 10:

[pic 95]

De la 2, 3 filas sustraigamos la 1 multiplicada por -4, 8:

[pic 96]

Dividimos el 2-ésimo por 17.6:

[pic 97]

De la 1, 3 sustraigamos 2 multiplicada por 0.4, 4.8:

[pic 98]

Dividimos el 3-ésimo por -73/11:

[pic 99]

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por 5/44, 41/88

[pic 100]

Resultado x1=57/73, x2=131.292, x3=608.73

1. Realice los siguientes ejercicios:

a)

5= ==[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

b)

2 += [pic 105][pic 106][pic 107]

=[pic 108]

c).

7 =[pic 109][pic 110]

=[pic 111]

d)

*=  [pic 112][pic 113][pic 114]

e)

*==[pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

f)

*=[pic 119][pic 120][pic 121]

Solución:

C1,1=2*2+(-3)*(-2)+4*5+1*(-3)=27

C1,2=2*3+(-3)*(-4)+4*16+1*23=105

C1,3=2*4+(-3)*3+4*8+1*3=34

C1,4=2*5+(-3)*7+4*4+1*1=6

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