ALGEBRA LINEAL

Profesor:

Ing. Tomas López Trujillo

Nombre de la materia:

Algebra lineal

Nombre del tema:

Investigación

Nombre del alumno:

Guillermo Martínez de la Fuente

Grado: 3° grupo: “BC”

Unidad 1 números Complejos

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Historia de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición de número complejo

Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados

z = (x, y)

de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.

Las leyes conmitativas

z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1

y las asociativas

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3)

se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si

z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),

entonces

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1

La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva

z(z1 + z2) = zz1 + zz2,

es similar

De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir

z = x + iy o z = x + yi

Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.

La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,

z + 0 = z y z * 1 = z

para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos

(x, y) + (u, v) = (x, y),

donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que

x + u = x e y + v = y;

o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.

Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo

-z = (-x, -y)

que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.

Los inversos aditivos se usan para definir la resta:

z1 - z2 = z1 + (-z2).

Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces

z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2).

Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo, buscamos números reales u, v expresados en términos de x e y, tales que

(x, y)(u, v) = (1,0).

1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto.

=Potencias de la unidad imaginaria=

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

=Ejemplo

i22

i22 = (i4)5 • i2 = − 1

=Valor absoluto=

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida

...