ALGEBRA LINEAL

V. VALORES CARACTERISTICOS, FORMAS CUADRATICAS Y VECTORES CARACTERISTICOS.

5.1 VALORES Y VECTORES

Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v y un escalar V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar  tal que

Tv =v (1)

Si v  0 y  satisface (1), entonces  se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.

Definición . Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matriz de n * n con componentes reales. El número  (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = v. (2)

El vector v  0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .

 Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.

Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores característicos.

Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.

Sea A = 10 -18

6 -11

Entonces

A 2 = 10 -18 2 = 2

1 6 -11 1 1

Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 2

1

De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3

2 6 -11 2 -4 2

de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 3

2

Ejemplo 2. Eigenvalores y eigenvectores de la matriz identidad. Sea A = I, entonces para cualquier v  Cn, Av = Iv = v. Así, 1 es el único valor propio de A y todo v  0  Cn es un vector propio de I.

Suponga que  es un valor propio de A. Entonces existe un vector diferente de cero

x1

V = x2  0 tal que Av = v = Iv. Rescribiendo esto se tiene (A - I)v = 0 (3)

:

xn

Sea A una matriz de n * n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuaciones con las incógnitas x1, x2, ..., xn. Como se ha supuesto que el sistema tiene soluciones no triviales, se concluye que det (A - I) = 0. Inversamente, si det (A - I) = 0, entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y  es el valor propio de A. Por otro lado, si det (A - I)  0, entonces la única solución a (3) es v = 0 de manera que  no es un eigenvalor de A.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios

i. Se encuentra p() = det (A - I).

ii. Se encuentran las raíces 1, 2, . . . , m de p( ) = 0.

iii. Se resuelve el sistema homogéneo (A - iI)v = 0, correspondiente a cada valor propio i.

Observación 1. Por lo general el paso ii) es el más dificil.

Ejemplo 3. Cálculo de valores y vectores propios. Sea A = 4 2

3 3

4 -  2

Entonces det (A - I) = 3 3 -  = (4 - )(3 -) – 6 = 2 - 7 + 6 = ( - 1)( - 6) = 0.

Entonces los valores propios de A son 1 = 1 y 2 = 6. Para 1 = 1 se resuelve (A – I)v = 0 o

3 2 x1 = 0

3 2 x2 0

Es claro que cualquier vector propio correspondiente a 1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Un vector propio de este tipo es v1 = 2

-3

Así, E1 = gen 2

-3

-2 2 x1 = 0

De manera similar, la ecuación (A – 6I)v = 0 significa que 3 -3 x2 0 o x1 = x2.

Entonces v2 = 1 es un vector propio correspondiente a 2 = 6 y E6 = gen 1 .

1 1

Observe que v1 y v2 son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.

Nota. No importa si se establece 1 = 1 y 2 = 6 o 1 = 6 y 2 = 1.

5.2 POLINOMIO CARACTERISTICO Y ECUACION CARACTERISTICA

Teorema 1. Sea A una matriz de n * n. Entonces  es un valor propio de A sí y sólo sí

(4)

Definición. Ecuación y polinomio característicos. La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p() se llama el polinomio característico de A.

Como será evidente p() es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si A = a b

c d

Entonces, A - I = a b  0 = a -  b

c d 0  c d - 

y p() = det ( A - I) = ( a - )(d - ) – bc = 2 – (a + b) + (ad – bc).

Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio ( - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que

Teorema 2. Sea  un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E = {v: Av = v}. Entonces E es un subespacio de Cn.

Demostración. Si Av = v, entonces (A - I)v = 0. Así E es el espacio nulo de la matriz A - I, que es un subespacio de Cn.

Definición. Espacio propio. Sea  un valor propio de A. El subespacio E se llama espacio propio• de A correspondiente al valor propio .

• Observe que 0  E ya que E es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.

Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios.

Demostración. Como A y B son semejantes, B = C-1AC y

Det (B -  I) = det (C-1AC -  I) = det [C-1AC – C-1( I)C]

= det [C-1(A -  I)C] = det (C-1) det(A -  I) det (C)

= det (C-1) det (C) det (A -  I) = det (C –1C) det (A -  I)

= det I det (A -  I) = det (A -  I)

Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.

5.3 DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ DE N * N

Definición 1. Matrices semejantes. Se dice que dos matrices A y B de n * n son semejantes si existe una matriz invertible C de n * n tal que

(1)

La función definida por (1) que lleva la matriz A en la matriz B se llama transformación de semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como

T(A) = C-1AC

Nota. C-1 (A1 + A2)C = C-1A1C + C-1A2C y C-1(A)C = C-1AC de manera que la función definida por (1) es, de hecho, una transformación lineal.

Nota. Suponga que B = C-1 AC. Entonces al multiplicar por la izquierda por C, se obtiene CB = CC-1 AC, o sea

CB = AC (2)

La ecuación (2) con frecuencia se toma como una definición alternativa de semejanza:

Definición 2. Matriz diagonalizable. Una matriz A de n * n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D .

Observación. Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces A y D tienen los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa

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