ALGEBRA LINEAL

NUMEROS COMPLEJOS

ORIGENES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano GIROLAMO CARDANO (1501-1576, quien el uso en la fórmula para resolver las ecuaciones cubicas. El “número complejo”, fue introducido por el gran matemático alemán CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855, cuyo trabajo fue la importancia básica en algebra, teoría de los números, análisis complejos, análisis numéricos y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Las nuevas invenciones en las matemáticas no son resultado de cualquier esfuerzo individual sino que son el desenlace de una evolución gradual y cautelosa. Lo que llevo a utilizar los números racionales negativos fue la intensidad de una mayor libertad en el cálculo formal.

En la edad media las matemáticas lo usaron conjuntamente con números reales y los números racionales se introdujeron para resolver ecuaciones, como:

a.x = b

Donde se debe hallar el valor de la incógnita “X”, Numero racional

Los números reales negativos no tienen raíces de índice.

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

La representación grafica de los números complejos, se trabaja en el plano de Gauss y utilizamos coordenas cartesianas ortogonales. La componente real se mide sobre el eje real que coincide con el eje de las abscisas o el je horizontal. La competente imaginaria se mide sobre el eje e imaginario o el eje de ordenas o eje vertical el plano de determinado por el eje real y eje imaginario, el plano complejo.

EJE REAL= EJE HORIZONTAL=EJE DE ABSCISAS

EJE IMAGINARIO=EJEVERTICAL=EJE DE ORDENADAS

Un numero complejo es un par ordenado de números reales, expresado por (a, b) o a +b i

Expresión de la forma a + b i donde a y b son números reales, reciben el nombre de números complejos, las cuales operan según las reglas normales del aritmética, con la propiedad adicional, de que i² = -1.

A continuación, se presentan algunos ejemplos de número s complejos en ambas notaciones i² = -1

Par ordenado Notación equivalente

(3,4) 3+4i

Todo numero imaginario tiene un factor de raíz cuadrada (√-1) por ejemplo: √-4= a √4 √-1 el número√-1, llamado la unidad imaginaria, se expresa de la siguiente manera: i=√-1, por lo tanto se puede describir √-4=√4 √1=2 √-1=2i

Todo número de la forma a+bi es un numero complejo a+bi

a=parte real b=parte imaginaria

A continuación daremos un ejemplo de números complejos

2+3i

6-4i

√2+i√3

Exprese cada uno de los siguientes números complejos a+bi

3+√-16=3+√16 √-1=3+4i

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, para realizar estas operaciones se utilizara la definición que i=√-1 y que i²=-1.

Para sumar o números complejos:

1. cambie todos los números imaginarios de los números complejos

2. sume o reste las partes reales de los números complejos

3. sume o reste las partes imaginarios de los números complejos

4. exprese el resultado en la forma a+bi.

Ejemplo:

Sumar

(4+3i) + (-6-8i)=4-6+13i-8i = -2+5i

Restar

(-8-7i) - (5-4i) = -8 -5 -7i +4i = -13 -3i

Para multiplicar números complejos:

1. cambie todos los números imaginarios a la forma bi.

2. multiplique los números complejos como si se tratara de polinomios

3. justifique

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