LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERÍA

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA

INGENIERÍA

INDICE:

-Generalidades. Pg (1-4)

-Etapas de resolución del problema científico. Pg (5)

.Formulación matemática del problema científico.

.Solución de las ecuaciones.

.Interpretación científica de la solución.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior. Pg (7-30)

1. Aplicaciones a la mecánica:

1.1 Introducción.

1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos:

2.1 Introducción.

2.2 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

5. El cable colgante.

6. La deflexión de vigas.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales. Pg (31-50)

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos:

1.1 El resorte vibrante (movimiento armónico simple).

1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado).

1.3 El resorte con fuerzas externas.

1.4 La resonancia mecánica.

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIÓN A LA INGENIERÍA

GENERALIDADES:

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería.

El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación.

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función.

Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una

función y = f(x), su derivada

dy 

dx

f ´(x) , en forma de diferencial de una función de una

sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que

debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a c b

tenemos que

x

F (x) f (t)dt

c

si a x b , existe entonces

F´(x)

en cada punto x del

intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada.

F´(x) 

f (x)

-La Derivada de la Integral de una función es la propia función:

F´(x) f (x)

-La Integral de la Derivada de una función es la propia función:

x

f (x) f ´(x)dx

a

Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es más que la aplicación del teorema fundamental), es posible conseguir la función primitiva de la

función derivada

dy 

dx

f ´(x)

mediante la integración de dicha función, que es lo que

necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos definirlas.

Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variación, o dicho de otra forma, queremos conocer cómo varía dicho elemento en función de una o varias variables.

En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos relacionados por una ecuación que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la función desconocida.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton, Leibniz y los Bernouilli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en geometría y mecánica, llevaron al conocimiento sobre la resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales; se conoce mediante la práctica que es difícil obtener teorías matemáticas de gran generalidad para la resolución de estas ecuaciones diferenciales, salvo para algunos tipos, como las ecuaciones lineales, muy extendidas para problemas de tipo científico.

Definimos:

-Ecuación diferencial (E.D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.

Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas

parcialales (E.D.P.).

Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que están caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0).

-Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación.

Se dice que una ecuación diferencial (de orden n) está expresada en forma implícita

cuando tiene la forma

F (x, y, y´,...., y(n) ) 0 , siendo F una función

F : Rn2 R

siendo Ω un subconjunto (generalmente abierto) de Rn+2

Se dice que una ecuación diferencial (de orden n) está expresada en forma explícita

cuando tenemos y(n)= f(x,y,y´,….,y(n-1)) con

f : D Rn1 R

siendo la función definida

en el subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1 .

-Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

d n y d n1 y dy

an (x) dxn

an1 (x) dxn1 ... a1 (x) dx a0 (x) y g(x)

y se llama lineal homogénea si

además g(x) = 0.

-Se dice que una función y = φ(x) definida en un intervalo I es solución de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuación, la reduce a una identidad.

Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solución es expresable mediante integrales.

En general, la solución de la ecuación diferencial de orden n dependerá de n parámetros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamétrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretación geométrica nos muestra que también la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solución de la E. D.

-Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer.

Problema de valor inicial:

Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Problemas de valor frontera:

Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

-La función primitiva resultante, o función solución de una ecuación diferencial, puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferenciándose una solución de otra en el parámetro, definiéndose este conjunto de soluciones familia de soluciones de un parámetro (en el caso de existir sólo un parámetro) o familia de soluciones de dos o más parámetros (en el caso de existir más de un parámetro)

ETAPAS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO:

1) FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA CIENTÍFICO:

Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático.

Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución.

Si la intuición

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