Algebra Lineal
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No. 4
´Algebra lineal
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´a
30 de noviembre de 2012
ii
Cuaderno dedicado a To˜nita, mi madre.
Contenido
Pr´ologo v
1. Matrices 1
1.1. Estructuras algebraicas b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Inversa de una matriz y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Matrices y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 22
2.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Producto tensorial 50
3.1. Producto tensorial de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Producto tensorial de transformaciones y matrices . . . . . . . . . . . 54
3.3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4. Tensores sim´etricos, antisim´etricos y alternados . . . . . . . . . . . . 63
3.5. ´Algebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Formas can´onicas 75
4.1. Polinomios m´ınimo y caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2. Forma can´onica cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Forma can´onica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. Forma can´onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5. Forma can´onica diagonal: valores y vectores propios . . . . . . . . . . 95
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
iii
iv CONTENIDO
5. Grupos de matrices 107
5.1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1. El grupo lineal y algunos subgrupos destacados . . . . . . . . 107
5.1.2. Grupos cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.1. Teorema de normalizaci´on de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.2. Teorema de estabilidad de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4. Grupos cl´asicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bibliograf´ıa 134
Pr´ologo
La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales
temas de esta rama de las matem´aticas y pretende servir de material para preparar
los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado
en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de
los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los
ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos, categor´ıas, ´algebra homol´ogica,
´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases
dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ´ultimos 20 a˜nos,
y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como
tambi´en en el libro Anillos, M´odulos y Categor´ıas, publicado por la Facultad de
Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente
agotada (v´ease [7]). Un material similar al presentado en estas diez publicaciones es
el libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por
Springer en el 2004 (v´ease [8]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´algebra sea
su presentaci´on m´as ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas
omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa.
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