LÓGICA Y CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL SIMÓN RODRÍGUEZ

NÚCLEO BARCELONA

SECCIÓN E 10500

LÓGICA Y CONJUNTOS.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

FACILITADORA: Saidubi Coacuto.             ESTUDIANTE: Pedro Pablo Pérez.

                                      C.I: 28.170.861

INTRODUCCIÓN

El Precálculo, es una forma avanzada de álgebra escolar. Abarca lo que serían los conocimientos elementales de Aritmética y Álgebra. Es la rama de matemáticas que se encarga del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería. En este informe veremos un breve resumen sobre conceptos, elementos, funciones y características de los diferentes tipos de lógica, conjuntos y estructuras algebraicas.

LÓGICA

En matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

TIPOS DE LÓGICA:

La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática.

1. TEORÍA DE MODELOS:

En matemática, la teoría de modelos es el estudio de estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, en relación con las teorías axiomáticas y la lógica matemática. La teoría de modelos permite atribuir una interpretación semántica a las expresiones puramente formales de los lenguajes formales. Además permite estudiar en sí mismos los conjuntos de axiomas, su completitud, consistencia, independencia mutua, y permiten introducir un importante número de cuestiones metalógicas.

Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }.

1. TEORÍA DE LA DEMOSTRACIÓN:

En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente prestablecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas. Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una demostración debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios.

1. TEORÍA DE LA COMPUTABILIDAD: También denominada teoría de la recursión, se ocupa del estudio y la clasificación de relaciones y aplicables computables. Además, la teoría de la computabilidad, junto con la teoría de autómatas, lenguajes y máquinas. Es el fundamento de la informática teórica y esta, a su vez, de la industria de los ordenadores. Es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que se pueden resolver con un algoritmo o equivalentemente con una máquina de Turing.

1. TEORÍA DE CONJUNTOS: Es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. La importancia de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática. Desde formular las bases lógicas para la geometría, el cálculo y la topología, hasta crear álgebra en torno a campos, anillos y grupos, las aplicaciones de la teoría de conjuntos son comúnmente utilizadas en campos de las ciencias y las matemáticas como biología, química y física, como así también en ingeniería.

CONJUNTOS

Los conjuntos se han convertido en los objetos matemáticos más fundamentales. Sobre los que se construye el resto de las matemáticas. Y la teoría de conjuntos, A su vez, se edifica sólidamente sobre axiomas mediante las leyes de la lógica de la que se ha hecho un esbozo en el capítulo precedente. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.

TIPOS DE CONJUNTO

A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué  de la agrupación de los elementos que lo conforman pueden variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que pueden ser:

1. CONJUNTOS FINITOS: Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes.

1. CONJUNTO INFINITOS:: Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los números. 

1. CONJUNTO UNITARIO: Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.

1. CONJUNTO VACÍO: No presenta ni contiene elementos.

1. CONJUNTO HOMOGÉNEO: Sus elementos presentan una misma clase o categoría.

1. CONJUNTO HETEROGÉNEO: Sus elementos difieren en clase y categoría.

Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:

1. CONJUNTOS EQUIVALENTES: La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.

1. CONJUNTOS IGUALES: Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

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