Grupos (Estructura Algebraica)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL “EL MÁCARO”

CENTRO DE ATENCIÓN VALLE DE LA PASCUA

PROFESIONALIZACIÓN EN MATEMATICA

Grupos

Autores:

Danny Blanca

Eilym Gonzalez

Jacqueline Pérez

Jesús Ruíz

Tutor:

Prof. Pedro Valera

Valle de la Pascua, Mayo 2012

INDICE

Pág. Nº

INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………03

DEFINICION DE GRUPO Y PROPIEDADES DE LOS GRUPOS………………………………………….04

GRUPO FINITO………………………………………………………………………………………………………………..06

GRUPO DE CONGRUENCIA MODULO N………………………………………………………………………….07

GRUPO DE PERMUTACIONES………………………………………………………………………………………….09

PERMUTACIONES PARES E IMPARES

GRUPO ALTERNATIVOS…………………………………………………………………………………………………..10

GRUPO CICLICO………………………………………………………………………………………………………………11

GRUPO ABELIANO…………………………………………………………………………………………………………………………12

CENTRO DE GRUPO…………………………………………………………………………………………………………14

SUBGRUPO Y OPERACIONES CON SUBGRUPO………………………………………………………………15

CLASES LATERALES…………………………………………………………………………………………………………16

PRODUCTO DIRECTO DE GRUPOS………………………………………………………………………………….17

AUTOMORFISMO INTERNO,

SUBGRUPO NORMALES……………………………………………………………………………………………………19

GRUPOS COCIENTES……………………………………………………………………………………………………….20

GRUPOS ISOMORFOS……………………………………………………………………………………………………..23

ISOMORFISMO Y TEOREMAS DE ISOMORFISMO…………………………………………………………..24

HOMOMORFISMO Y TEOREMA DE HOMOMORFISMO…………………………………………………….30

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON…………………………………………………………………………………..32

CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………………………………35

REFERENECIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………………………………………………….36

INTRODUCCIÓN

La presente investigación se ha tratado de introducir el lenguaje en el que se expresan las Matemáticas por lo que inicialmente puede resultar innecesario tratar de buscar aplicaciones de algo cuya utilidad es servir de fundamento. Esto ya de por si es suficiente aplicación. Sin embargo, dado el interés eminentemente práctico de un estudiante de Ingeniería conviene utilizar algunas aplicaciones del lenguaje de la Teoría de Conjuntos como motivación para su interés. Podemos destacar algunas Utilidades que vienen dadas fundamentalmente como consecuencia de su capacidad expresiva:

La idea de correspondencia o aplicación es el modo natural de representar leyes físicas y el entender éstas como pares ordenados resulta adecuado a la hora del tratamiento informático de un problema concreto. Por ejemplo, si entendemos una aplicación que a un punto de una lámina le asigna una temperatura como una terna de números reales en la que los dos primeros representan la posición del punto y el tercero la temperatura, podremos construir un programa de ordenador que represente el calentamiento de la lámina asignando colores a distintos rangos de temperatura.

Los métodos de recuento de subconjuntos son fundamentales en el cálculo de probabilidades para poder enumerar los sucesos posibles y los favorables. Y el cálculo de probabilidades está en el fundamento de la Estadística de uso cada vez más frecuente en el mejoramiento de procesos industriales.

La investigación estará basada en todo lo relacionado a los grupos, sus tipos clasificación entre otros, así como del isomorfismo, homomorfismo, lo cual ayudara a comprender todo lo relacionado a las estructura algebraica

DEFINICION DE GRUPO Y PROPIEDADES DE LOS GRUPOS

Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los números enteros «Z» que consiste en los números:

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Las propiedades de la adición de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo abstractos que se dan en la definición más abajo.

Para cualquier par de enteros a y b, la suma a + b es también un entero. En otras palabras, el proceso de adición de dos enteros a la vez nunca puede producir un resultado que no sea un entero. Esta propiedad se conoce como clausura respecto la adición.

Para todos los enteros a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c). Expresado en palabras, sumando primero a y b, y entonces sumando el resultado con c da el mismo resultado final que sumando a junto con el resultado de sumar b y c, esta propiedad se conoce como propiedad asociativa.

Si es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0 = a. Del cero se deduce el elemento identidad de la adición puesto que al sumarse a cualquier entero da el mismo entero.

Para cada entero a, hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se denomina elemento inverso del entero a y se expresa como -a.

Los enteros, junto con la operación «+», forman un objeto matemático que pertenece a una clase basta en la que hay otros objetos que comparten aspectos estructurales similares. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto por separado, se desarrolla la definición abstracta siguiente que incluye el ejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cuales es el grupo de simetría detallado más abajo.

Definición

Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria «•» que combina dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado en a • b o ab. El símbolo «•» es un elemento general para representar una operación concretamente dada cualquiera, como la adición especificada más arriba. Para poder calificar como un grupo, el conjunto y la operación (G, •), deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo:

Clausura.

Para todo a, b de G, el resultado de la operación a • b también pertenece a G.

Propiedad asociativa.

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento identidad.

Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la ecuación e • a = a • e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a menudo como 1 o 1G,5 una notación heredado de la identidad multiplicativa.

Elemento inverso.

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.

El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación

a • b = b • a

Puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple en el grupo de enteros con la adición, para que a + b = b + a para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, este grupo de simetría no siempre se cumple como se especificará más abajo. Los grupos para los cuales la ecuación a • b = b • a se cumple siempre se denominan abeliano (en

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