Algebra Lineal

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Algebra Lineal

Prof. Ing. María Nela Pastuizaca

Capitulo #7

ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ

ESPACIO NULO O NULIDAD DE UNA MATRIZ

Definición.- El espacio solución o nulo de una matriz de se denota:

= espacio nulo de la matriz A

NULIDAD DE UNA MATRIZ

Definición.-La nulidad denotada como: es la dimensión del espacio nulo.

IMAGEN O RECORRIDO DE UNA MATRIZ

Definición.- La imagen o recorrido de una matriz A esta formado por los vectores que satisfacen al sistema homogéneo.

RANGO DE UNA MATRIZ

Definición.- Sea A una matriz de . Entonces el rango de A, denotado:

es la dimensión de la imagen.

ESPACIO DE LOS REGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ

Definición.- Si A es una matriz de , sean los reglones de A y las columnas de A. Entonces se Define:

= = espacio de los reglones y

= = espacio de las columnas

• es un subespacio de y es un subespacio de .

EJERCICIOS:

Determine una base para la imagen de A y determine el rango de A.

. Dada la matriz , Determinar:

a).-espacio nulo de A y la nulidad de A

b).-Base de la

c).- Rango de A.

a).- .

b).- .

c).- .

TEOREMA

El rango de una matriz es igual al numero de pivotes en su forma escalonada por renglones.

EJEMPLO:

Sea . Determine el rango y el espacio de los renglones de

’

Como la matriz reducida tiene dos pivotes su . Una base para

Consiste en los primero dos renglones:

EJERCICIOS:

1.- Sea , determine el espacio fila, columna, núcleo, recorrido, nulidad y rango.

2.- Sea la matriz

a) Encuentre una base y la dimension del espacio renglón de A y el núcleo de A

b) A partir de una base del espacio columna de A, complete una base para

3.- Determine el espacio columna, rango, núcleo, nulidad y rango de la siguiente matriz:

4.- Dada la matriz:

Represente explicitamente el recorrido de A, el espacio renglón de A y el núcleo

5.- Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demuestrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo

a) Sean A y B matrices , si A es inversible entonces

b) Sea A una matriz cuadrada . Sea . Entonces el espacio fila de E es igual a su espacio columna.

c) Si C es una matriz de cambio de base entonces su nulidad es diferente de cero

d) Sea la matriz de . El vector y el vector

e) Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una matriz simetrica.

f) Sea A una matriz y B una matriz , entonces el producto A.B pertenece al espacio columna de A

g) Sea A una matriz antisimetrica, entonces la dimension del espacio fila de A es diferente a la dimension del espacio columna de A

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