Analisis Numerico

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a+), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a-), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

El teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. Este teorema lo formuló Lagrange y por eso tambien el conocido como el teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle.

Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:

1. f(x) es una función continua en el intevalo [a,b]

2. f(x) es una funcion diferenciable en [a,b]

entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal que

Ejemplo # 1

Compruebe que la funcion satisfaga las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo dado .Determinar todos los números c que satisfagan la conclusión del teorema del valor medio.

Teorema valor medio despejado

Sustituimos la por la

Despejando

Teorema Del Valor Intermedio Del Calculo Diferencial Para Funciones Reales De Dos Variables

En análisis real el teorema del valor intermedio es una propiedad de las funciones continuas reales en un intervalo. El teorema establece que si una función es continúa en un intervalo, la función toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la función en los extremos del intervalo.

Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los números reales.

Sea una función continúa en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que ), existe un dentro de ) tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Teorema de Taylor

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a: navegación, búsqueda

La función exponencial (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (línea verde discontinua).

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Contenido

[ocultar]

• 1 Caso de una variable

o 1.1 Demostración

• 2 Caso de varias variables

o 2.1 Demostración

• 3 Referencia

o 3.1 Bibliografía

[editar] Caso de una variable

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:1

(1a)

O en forma compacta

(1b)

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

(2a)

donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2

(2b)

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

[editar] Demostración

La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

Un cálculo rutinario permite ver que la derivada de esta función cumple que:

Se define ahora la función G como:

Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:

Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).

[editar] Caso de varias variables

El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

[editar] Demostración

Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sea una función vectorial que va de , y definámosla como (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores). Pongamos Ahora hagamos y recordemos que . Notemos ahora que:

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:

donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis, luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos en su serie de McLaurin:

y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que:

Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y compacta. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.

[editar] Referencia

1. ↑ Bartle & Sherbert, p. 238-239

2. ↑ Bartle & Sherbert, p. 290-291

[editar] Bibliografía

• R. G. Bartle & D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable', Ed. Limusa, 1990, ISBN 968-18-1725-7.

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Existen series de Taylor para:

• Función exponencial

• Logaritmo natural

Serie Geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas:

• Seno

• Coseno

• Tangente

• Secante

• Arco seno

• Arco tangente

Funciones hiperbólicas:

• Senh

• Cosh

• Tanh

• Senh-1

• Tanh-1

Función W de Lambert

Error de Propagación:

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición:

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):

• Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.

• Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.

• Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.

El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.

No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas.La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.

• Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.

• Aritmética de precisión extendida.

• Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor.

Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

A continuación se mostrará algunos ejemplos usando las serie de Taylor con las funciones e, seno y coseno.

Función e

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.

Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la función e.

Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion.

Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso.

Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo

Función Logaritmo natural

para todo |x| < 1 y cualquier a complejo

Función Seno

En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.

Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:

Aquí si se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada.

para todo x

Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:

Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos

Función Coseno

Para el coseno el procedimiento es el mismo.

Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.

Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:

Por ultimo se desarrolla la ecuacion general para cualquier caso:

Que la programacion orientada a objetos, se trabaja con objetos, por decirte algo, creas una clase (el esqueto), por ejemplo: la clase carro, luego le asignas variables(valores o atributos), ejemplo, VelocidadMax =190; Cambios: 5, Marcas: Toyota ; luego creas metodos o funciones (ejemplo -> funcion queVayaHaciaAdelante, funcion queSeDetenga, etc);esto seria la clase, ahora programamos el objeto...

y cual seria el objeto de la clase carro?.... Pues tu carro, entonces creo un objeto: MiCarro que utiliza una clase llamada auto, pero la clase auto puede contener a su ves una clase llamada motor, otra clase llamada llanta, etc.... es como programar por partes y luego las puedes cambiar(polimorfismo), heredar(herencia), reutilizar, etc y esta seria la forma mas facil de programar (!)(?) XD

Ahora para la programacion estructurada, se programa de manera secuencial, porlo que para programas muy complejos se vuelve casi imposible programar bien, sin enredarce.. es muy tedioso, y creo que ya no se usa...

Diferencias con la programación estructurada y la programación orientada a objetos

Aunque la programación estructurada (a veces llamada procedural o procedimental) condujo a mejoras de la técnica de programación secuencial, los métodos modernos de diseño de software orientado a objetos incluyen mejoras entre las que están el uso de los patrones de diseño, diseño por contrato, y lenguajes de modelado (ej: UML).

Las principales diferencias entre la programación estructurada y la orientada a objetos son:

• La programación orientada a objetos es más moderna, es una evolución de la programación estructurada que plasma en el diseño de una familia de lenguajes conceptos que existían previamente con algunos nuevos.

• La programación orientada a objetos se basa en lenguajes que soportan sintáctica y semánticamente la unión entre los tipos abstractos de datos y sus operaciones (a esta unión se la suele llamar clase).

• La programación orientada a objetos incorpora en su entorno de ejecución mecanismos tales como el polimorfismo y el envío de mensajes entre objetos.

Erróneamente se le adjudica a la programación estructurada clásica ciertos problemas como si fueran inherentes a la misma. Esos problemas fueron haciéndose cada vez más graves y antes de la programación orientada a objetos diversos autores (de los que podemos destacar a Yourdon) encontraron soluciones basadas en aplicar estrictas metodologías de trabajo. De esa época son los conceptos de cohesión y acoplamiento. De esos problemas se destacan los siguientes:

• Modelo mental anómalo. Nuestra imagen del mundo se apoya en los seres, a los que asignamos nombres sustantivos, mientras la programación clásica se basa en el comportamiento, representado usualmente por verbos.

• Es difícil modificar y extender los programas, pues suele haber datos compartidos por varios subprogramas, que introducen interacciones ocultas entre ellos.

• Es difícil mantener los programas. Casi todos los sistemas informáticos grandes tienen errores ocultos, que no surgen a la luz hasta después de muchas horas de funcionamiento.

• Es difícil reutilizar los programas. Es prácticamente imposible aprovechar en una aplicación nueva las subrutinas que se diseñaron para otra.

• Es compleja la coordinación y organización entre programadores para la creación de aplicaciones de media y gran envergadura.

En la programación orientada a objetos pura no deben utilizarse llamadas de subrutinas, únicamente mensajes.

Por ello, a veces recibe el nombre de programación sin CALL, igual que la programación estructurada se llama también programación sin GOTO.

Sin embargo, no todos los lenguajes orientados a objetos prohíben la instrucción CALL (o su equivalente), permitiendo realizar programación híbrida, imperativa y orientada a objetos a la vez.

...