Analisis Numericos

Métodos Numéricos

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE URUAPAN

UNIDAD 5 Interpolación

MAPA DE LA UNIDAD

INTRODUCCIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

Planteamiento general

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn) y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a la izquierda de xo.

Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados.

El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios “interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.

TEMA 5.1 Polinomio de interpolación de Newton.

Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio

La interpolación de Newton se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado, aproximándose lo más posible a la curva buscada.

La ecuación general para la obtención de la función por este método es:

Donde las “bi” se obtienen mediante la aplicación de una serie de funciones incluidas en una tabla de diferencias.

Ejemplo: Suponiendo que tenemos 4 puntos, la tabla de diferencias tiene la siguiente forma:

Con esto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:

Teniendo los siguientes puntos:

Calculamos su tabla:

Obteniendo el siguiente polinomio:

TEMA 5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange.

Este método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a través de n puntos dados.

Un polinomio en series de potencias es

g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición se cumple si y para toda .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para :

y , para toda

Por lo tanto, planteamos como sigue:

Con esto se cumple la segunda condición sobre . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

Por lo tanto el polinomio queda definido como:

Análogamente se puede deducir que:

, para

y formula expresada más fácilmente es la siguiente:

EJEMPLO: Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

i 0 1 2 3

f(xi) 1 -1 3 -2

x -2 0 2 4

Pn(x)=(L0(x)*1)+(L1(x)*-1)+(L2(x)*3)

L0=

L1=

L2=

L3=

L0= =

L1= =

L2= =

L3= =

P4(x)=

P4(x)=

P4(x)=

P4(x)=

TEMA 5.3 Interpolación segmentada.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

Tipos

Interpolación con splines de grado 1 - Spline lineal

Interpolación con splines de grado 2 - Spline cuadrática

Interpolación con splines de grado 3 - Spline cúbica

Spline Lineal

Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta.

Dados los n+1 puntos:

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:

Spline Cuadratica

Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2.

Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c

Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones:

• Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.

• Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

• Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).

Se necesita una sexta ecuación,¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún

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