Analisis Numericos

Métodos Numéricos

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE URUAPAN

UNIDAD 5 Interpolación

MAPA DE LA UNIDAD

INTRODUCCIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

Planteamiento general

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn) y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a la izquierda de xo.

Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados.

El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios “interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.

TEMA 5.1 Polinomio de interpolación de Newton.

Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio

La interpolación de Newton se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado, aproximándose lo más posible a la curva buscada.

La ecuación general para la obtención de la función por este método es:

Donde las “bi” se obtienen mediante la aplicación de una serie de funciones incluidas en una tabla de diferencias.

Ejemplo: Suponiendo que tenemos 4 puntos, la tabla de diferencias tiene la siguiente forma:

Con esto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:

Teniendo los siguientes puntos:

Calculamos su tabla:

Obteniendo el siguiente polinomio:

TEMA 5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange.

Este método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a través de n puntos dados.

Un polinomio en series de potencias es

g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición se cumple si y para toda .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para :

y , para toda

Por lo tanto, planteamos como sigue:

Con esto se cumple la segunda condición sobre . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

Por lo tanto el polinomio queda definido como:

Análogamente se puede deducir que:

, para

y formula expresada más fácilmente es la siguiente:

EJEMPLO: Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

...