Analisis Numerico

Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 58

4.1 Determinantes y sistemas de ecuaciones no lineales 59

4.2 Método de Gauss-Jordan 59

4.2.1 Práctica computacional 61

4.2.2 Formulación del método de Gauss-Jordan y algoritmo 62

4.2.3 Eficiencia del método de Gauss-Jordan 64

4.2.4 Instrumentación computacional 65

4.2.5 Obtención de la inversa de una matriz 66

4.3 Método de Gauss 68

4.3.1 Formulación del método de Gauss y algoritmo 69

4.3.2 Eficiencia del método de Gauss 70

4.3.3 Instrumentación computacional 70

4.3.4 Estrategia de pivoteo 71

4.3.5 Instrumentación computacional del método de Gauss con pivoteo 72

4.3.6 Funciones de MATLAB para sistemas de ecuaciones lineales 73

4.3.7 Cálculo del determinante de una matriz 73

4.3.8 Instrumentación computacional para calcular determinantes74

4.4 Sistemas mal condicionados 75

4.4.1 Definiciones 76

4.4.2 Algunas propiedades de normas 77

4.4.3 Número de condición 77

4.4.4 El número de condición y el error de redondeo 78

4.4.5 Funciones de MATLAB para normas y número de condición 81

4.5 Sistemas singulares 82

4.5.1 Formulación matemática y algoritmo 82

4.5.2 Instrumentación computacional 85

4.5.3 Uso de funciones de MATLAB 89

4.6 Sistema tridiagonales 90

4.6.1 Formulación matemática y algoritmo 90

4.6.2 Instrumentación computacional 92

5 Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 93

5.1 Método de Jacobi 93

5.1.1 Formulación matemática 93

5.1.2 Manejo computacional de la fórmula de Jacobi 94

5.1.3 Algoritmo de Jacobi 95

5.1.4 Instrumentación computacional del método de Jacobi 95

5.1.5 Forma matricial del método de Jacobi 96

5.1.6 Práctica computacional con la notación matricial 97

5.2 Método de Gauss-Seidel 98

5.2.1 Formulación matemática 98

5.2.2 Manejo computacional de la fórmula de Gauss-Seidel 99

5.2.3 Instrumentación computacional del método de Gauss-Seidel 99

5.2.4 Forma matricial del método de Gauss-Seidel 1001

5.3 Método de relajación 101

5.3.1 Formulación matemática 101

5.3.2 Manejo computacional de la fórmula de relajación 102

5.3.3 Forma matricial del método de relajación 102

5.4 Convergencia de los métodos iterativos para sistemas lineales 103

5.4.1 Matriz de transición para los métodos iterativos 104

5.5 Eficiencia de los métodos iterativos 106

5.6 Finalización de un proceso iterativo 106

5.7 Práctica computacional con los métodos iterativos 107

5.8 Ejercicios con sistemas de ecuaciones lineales 111

6 Interpolación 117

6.1 El polinomio de interpolación 117

6.1.1 Existencia del polinomio de interpolación 118

6.1.2 Unicidad del polinomio de interpolación con diferentes métodos 119

6.2 El polinomio de interpolación de Lagrange 120

6.2.1 Eficiencia del método de Lagrange 121

6.2.2 Instrumentación computacional 122

6.3 Interpolación múltiple 124

6.3.1 Instrumentación computacional 126

6.4 Error en la interpolación 127

6.4.1 Una fórmula para estimar el error en la interpolación 128

6.5 Diferencias finitas 129

6.5.1 Relación entre derivadas y diferencias finitas 130

6.5.2 Diferencias finitas de un polinomio 131

6.6 El polinomio de interpolación de diferencias finitas 132

6.6.1 Práctica computacional 134

6.6.2 Eficiencia del polinomio de interpolación de diferencias finitas 135

6.6.3 El error en el polinomio de interpolación de diferencias finitas 136

6.6.4 Forma estándar del polinomio de diferencias finitas 138

6.7 El polinomio de interpolación de diferencias divididas 139

6.7.1 El error en el polinomio de interpolación de diferencias divididas 141

6.8 El polinomio de mínimos cuadrados 142

6.8.1 Práctica computacional 144

6.9 Ejercicios y problemas con el polinomio de interpolación 145

6.10 El trazador cúbico 148

6.10.1 El trazador cúbico natural 148

6.10.2 Algoritmo del trazador cúbico natural 151

6.10.3 Instrumentación computacional del trazador cúbico natural 153

6.10.4 El trazador cúbico sujeto 155

6.10.5 Algoritmo del trazador cúbico sujeto 156

6.10.6 Instrumentación computacional del trazador cúbico sujeto 157

6.10.7 Ejercicios con el trazador cúbico 159

7 Integración numérica 160

7.1 Fórmulas de Newton-Cotes 160

7.1.1 Fórmula de los trapecios 160

7.1.2 Error de truncamiento en la fórmula de los trapecios 162

7.1.3 Instrumentación computacional de la fórmula de los trapecios 165

7.1.4 Fórmula de Simpson 166

7.1.5 Error de truncamiento en la fórmula de Simpson 167

7.1.6 Instrumentación computacional de la fórmula de Simpson 169

7.1.7 Error de truncamiento vs. error de redondeo 169

7.2 Obtención de fórmulas de integración numérica con el método de

coeficientes indeterminados 171

7.3 Cuadratura de Gauss 172

7.3.1 Fórmula de la cuadratura de Gauss con dos puntos 172

7.3.2 Instrumentación computacional de la cuadratura de Gauss 174

7.3.3 Instrumentación extendida de la cuadratura de Gauss 174

7.4 Integrales con límites infinitos 175

7.5 Integrales con singularidades 176

7.6 Integrales múltiples 177

7.6.1 Instrumentación computacional de la fórmula de Simpson en

dos direcciones 179

7.7 Ejercicios y problemas de integración numérica 181

8 Diferenciación numérica 185

8.1 Obtención de fórmulas de diferenciación numérica 185

8.2 Una fórmula para la primera derivada 185

8.3 Una fórmula de segundo orden para la primera derivada 187

8.4 Una fórmula para la segunda derivada 188

8.5 Obtención de fórmulas de diferenciación numérica con el método

de coeficientes indeterminados 188

8.6 Algunas otras fórmulas de interés para evaluar derivadas 189

8.7 Extrapolación para diferenciación numérica 190

8.8 Ejercicios de diferenciación numérica 191

9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias 192

9.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con la condición

en el inicio 193

9.1.1 Existencia de la solución 193

9.1.2 Método de la serie de Taylor 194

9.1.3 Fórmula de Euler 197

9.1.4 Error de truncamiento y error de redondeo 198

9.1.5 Instrumentación computacional de la fórmula de Euler 199

9.1.6 Fórmula mejorada de Euler o fórmula de Heun 200

9.1.7 Instrumentación computacional de la fórmula de Heun 201

9.1.8 Fórmulas de Runge-Kutta 203

9.1.9 Instrumentación computacional de la fórmula de Runge-Kutta 204

9.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

con condiciones en el inicio 206

9.2.1 Fórmula de Heun extendida a dos E. D. O. de primer orden 206

9.2.2 Instrumentación computacional de la fórmula de Heun para

dos E. D. O. de primer orden 207

9.2.3 Fórmula de Runge-Kutta para dos E. D. O. de primer orden

con condiciones en el inicio 208

9.2.4 Instrumentación computacional de la fórmula de Runge-Kutta

para dos E.D.O de primer orden 209

9.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y condiciones

en el inicio 210

9.3.1 Instrumentación computacional 211

9.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales 212

9.5 Convergencia y estabilidad numérica 213

9.6 Ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones en los bordes 214

9.6.1 Método de prueba y error (método del disparo) 214

9.6.2 Método de diferencias finitas 215

9.6.3 Instrumentación computacional 218

9.6.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones en

los bordes con derivadas 219

9.6.5 Instrumentación computacional 220

9.6.6 Normalización del dominio de la E.D.O. 222

9.7 Ejercicios con ecuaciones diferenciales ordinarias 223

10 Ecuaciones diferenciales parciales 224

10.1 Aproximaciones de diferencias finitas 224

10.2 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico 224

10.2.1 Un esquema de diferencias finitas explícito 226

10.2.2 Estabilidad del método de diferencias finitas 227

10.2.3 Instrumentación computacional 229

10.2.4 Un esquema de diferencias finitas implícito 230

10.2.5 Instrumentación computacional 232

10.2.6 Práctica computacional 233

10.2.7 Condiciones variables en los bordes 233

10.2.8 Instrumentación computacional 235

10.2.9 Método de diferencias finitas para EDP no lineales 237

10.3 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico 238

10.3.1 Un esquema de diferencias finitas implícito 239

10.3.2 Instrumentación computacional 241

10.4 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico 244

10.4.1 Un esquema de diferencias finitas explícito 244

10.4.2 Instrumentación computacional 247

10.5 Ejercicios con ecuaciones diferenciales parciales 249

Bibliografía 250

ANÁLISIS NUMÉRICO BÁSICO

Un

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