Antologia De Calculo

Instituto Tecnológico Superior de Xalapa

Antología

Cálculo Diferencial

Docente:

ISC René Zahorí Torres Becerra

Temario

Números Reales

La recta numérica.

Los números reales.

Propiedades de los números reales.

Tricotomía.

Transitividad.

Densidad.

Axioma del supremo.

Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

Valor absoluto y sus propiedades.

Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Funciones

Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Función real de variable real y su representación gráfica.

Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto.

Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas.

Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

Función implícita.

Límites y continuidad

Límite de una sucesión.

Límite de una función de variable real.

Cálculo de límites.

Propiedades de los límites.

Límites laterales.

Límites infinitos y límites al infinito.

Asíntotas.

Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

Tipos de discontinuidades.

Derivadas

Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

La interpretación geométrica de la derivada.

Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

Propiedades de la derivada.

Regla de la cadena.

Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.

Derivada de funciones implícitas.

Aplicaciones de la Derivada

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Análisis de la variación de funciones.

Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

Unidad 1

1.1 La recta numérica.

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

Recta numérica real

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

La recta real o recta numérica es un sistema de coordenadas en donde los números reales pueden representarse.

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Orden de los números Reales

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

Notación Definición Terminología

a > b

a < b a – b es positivo

a – b es negativo a es mayor que b

a es menor que b

1.2. Los Números Reales.

Es fundamental para nuestro trabajo en matemáticas conocer los diferentes tipos de números que usaremos. Uno de los primeros conjuntos de números que se aprenden son los números naturales (N). Estos números son 1, 2, 3, 4, etcétera. Éstos fueron también los primeros números inventados por la humanidad. Más tarde, la humanidad descubrió la necesidad del número (0). Cuando se añadió el 0 a los números naturales, se formó un nuevo conjunto de números, llamados números enteros naturales.

Enteros (Z): La humanidad continuó usando los números enteros hasta que descubrió que no había posibilidad de resolver ciertos problemas con el conjunto de números enteros naturales. Problemas como la resta 3 – 5 requerían que se inventara un nuevo conjunto de números: los enteros. Éstos incluían a los números naturales, el cero y un valor negativo para cada uno de los números naturales. El conjunto de enteros consta de los números:

…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Los números negativos se llaman enteros negativos y los números naturales, enteros positivos. El número 0 no es positivo ni negativo. Los números positivos pueden escribirse con el signo más (+) adelante, como +1, +2, +3, … aunque esto no es necesario.

Números Racionales (Q): Los números racionales se crearon para indicar cuando era necesario una parte de algo.

Los elementos de este conjunto son aquellos números que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero. Un número real es RACIONAL si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero.

Se denota por el símbolo Q y se define simbólicamente de la siguiente forma:

Q = │ a ε Z, b ε Z, b ≠ 0

Todo número entero puede representarse como un cociente, que puede expresarse en forma más simple utilizando como divisor a la unidad., así:

Por lo tanto, se puede decir que todo número entero es un número racional; en notación de conjuntos dicha relación se expresa como sigue:

Números Irracionales (Q’): Hace algún tiempo la gente pensaba que todo podría expresarse como un número racional y que cualquier problema tendría como respuesta un número racional. Este conjunto de números está formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros; ejemplos:

Números Reales (R): Cuando los números racionales se combinan con los irracionales, se forma un nuevo conjunto: los números reales.

A veces es conveniente representar los números reales sobre una recta numérica. La recta numérica es una línea horizontal marcada en intervalos igualmente espaciados. Una de estas marcas se llama origen y se indica con el número cero (0). Las marcas a la derecha se señalan usando los enteros positivos. Los enteros negativos se emplean para designar las marcas a la izquierda del origen. En la siguiente figura se muestra una escala típica. Los demás números reales se localizan entre los enteros.

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:

1.3. Propiedades de los números reales.

Propiedad Operación Definición Qué Dice Ejemplo

Conmutativa Suma a + b = b + a El orden al sumar o multiplicar no. reales no afecta el resultado 2 + 8 = 8 + 2

Multiplicación ab = ba 5(-3) = (-3)5

Asociativa Suma a+(b+c)

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