Antologia-Calculo Diferencial

Introducción

Durante este trabajo de antología vamos a dar a conocer diversos temas entre ellos teoremas como recta tangente  y recta normal a una curva en un punto. Teorema de rolle, lagrange y valor medio. Una Función creciente y decreciente  criterio de la primera y segunda derivada análisis de variación de funciones , entre los cuales mostramos su concepto y definición se muestra como se trabaja como se aplican en la vida cotidiana que es algo muy importante lo que se espera de esta antología es ser de utilidad para el lector ya que lo más importante es entender y saber manejar cada uno de los temas ya que son importantes en el cálculo y en la vida del ingeniero , buscamos que estos temas sea aptos para el lector y de beneficencia .

Contenido

Aplicación de máximos y mínimos 3

 Máximos 4

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 4

 Mínimos 4

Crecimiento y decrecimiento 6

Ejemplo 7

Ejemplo 7

Ejemplo 7

Ejemplo 9

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

 Localización de máximos y mínimos 11

Ejemplo 12

Recta normal a una curva en un punto 16

Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión. 16

Ejemplo: 16

Ejemplo 17

Ecuación de la recta normal 18

Teorema de Rolle 19

El teorema de Rolle dice que: 19

Criterio de la primera derivada 25

Crítico de la segunda derivada 27

Conclusión…………………………………………………………………28

Bibliografía………………………………………………………………29

DERIVADAS

Aplicación de máximos y mínimos

Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van primero creciendo y luego decreciendo o la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo o un valor mínimo, los cuales no pueden ser encontrados por métodos algebraicos, sino solamente con, la aplicación del cálculo diferencial.

• La parte medular de la solución de estos problemas consiste en saber construir una función que describa el comportamiento del fenómeno enunciado. Una vez construida dicha función, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus máximos y/o mínimos.

Máximos y Mínimos

Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

REGLA PARA ENCONTRAR LOSMAXIMOS Y MINIMOS

Se encuentra la primera derivada de la función

Se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.

Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico

y después para un valor un poco mayor que el valor crítico.

Si el signo de la derivada es primeramente + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

Función Creciente y decreciente (máximos y mínimos)

Crecimiento y decrecimiento

Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo.

Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2entonces f(x1)⩽f(x2).

Decimos que una función f(x) es decreciente en intervalo [a,b] ssi dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2entonces f(x1)⩾f(x2).

Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes).

Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando x se hace grande.

Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen.

Decimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)<f(x2).

Decimos que una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)>f(x2).

A continuación podemos ver unos ejemplos:

Ejemplo

Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos a<0 obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).

Ejemplo

La función f(x)=x2 es una función decreciente en el intervalo (−∞,0] y creciente en [0,+∞).

Ejemplo

Las funciones constantes son funciones que a la vez son crecientes y decrecientes (se mantienen constantes).

Máximos y mínimos

Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son máximos o mínimos relativos o globales.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo, podemos observar que en x=0 la función f(x)=x2 tiene un mínimo: 

Definamos pues correctamente el concepto de mínimo y máximo relativo y global:

Un punto x0 se denomina máximo global si para todo punto x del dominio, la función cumple f(x)⩽f(x0).

Un punto x0 se denomina mínimo global si para todo punto x del dominio, la función cumple f(x)⩾f(x0).

Un punto x0 se denomina máximo relativo si para todo punto x de un entorno de x0  [x0−ε,x0+ε] (donde ε es un valor pequeño), la función cumple f(x)⩽f(x0).

Un punto x0 se denomina mínimo relativo si para todo punto x de un entorno de x0  [x0−ε,x0+ε] (donde ε es un valor pequeño), la función cumple f(x)⩾f(x0).

Para entender mejor cada concepto veamos un ejemplo de cada:

Ejemplo

La función f(x)=x2 presenta un mínimo global en el punto x=0 (ver ejemplo previo a las definiciones).

Ejemplo

La función f(x)=−(x−1)2 presenta un máximo global en el punto x=1: 

Ejemplo

La función f(x)=x3−3x presenta un máximo relativo en x=−1 y un mínimo relativo en x=1: 

Ejemplo

La función f(x)=x4−x3−2x2 presenta un mínimo global en el intervalo [−2,−1], tiene un máximo relativo en x=0 y un mínimo relativo en el intervalo (0,1): 

Localización de máximos y mínimos

Vamos a ver cómo encontrar máximos y mínimos relativos.

Para ello consideramos una función f(x) c continua en un dominio abierto y derivable en éste.

Si nos fijamos en las gráficas anteriores, los puntos máximos y mínimos relativos tienen como recta tangente una recta de pendiente cero. Esta será la clave para encontrar máximos y mínimos.

El procedimiento será derivar la función f(x) y igualarla a cero. Resolviendo la ecuación que aparece encontraremos los puntos x que serán máximos o mínimos en nuestra función.

El siguiente paso será saber si son máximos o mínimos. Esto se puede deducir del valor que alcance la segunda derivada de la función en el punto en cuestión: si es positivo, será mínimo, y si es negativo, será máximo.

Para entender bien el proceso, veamos un ejemplo.

Ejemplo

Tomemos la función f(x)=x3−3x.

Empezaremos derivando la función y igualándola a cero. Resolveremos la ecuación y nos quedaremos con los puntos solución.

f′(x)=3x2−3⇒3x2−3=0⇒x2=1⇒x=±1

Ahora sabemos que en los puntos 1 y −1 tenemos máximos o mínimos. Vamos a ver qué son usando la segunda derivada: f′′(x)=6x:

f′′(1)=6>0

f′′(−1)=−6<0

y por lo tanto, en x=−1 tenemos máximo y en x=1 tenemos un mínimo.

Veamos el gráfico para ver claramente

RECTA TANGENTE  Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO.

Recta tangente.

Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1,.

Ejemplos de rectas tangentes:

Por lo cual podemos decir que una recta tangente es una línea que toca en algún punto sin atravesarlo.

Una definición más cercana a la realidad es la siguiente:

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si es punto de una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas orto normales, es dada por. Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que. Si entonces la recta normal es simplemente.

Recta normal a una curva en un punto

Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.

Ejemplo:

El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva y=1x−1 +1  :

Dos funciones f(x),g(x)  serán normales en un punto si, en el punto de corte a  , se cumple que:

f ′ (a)⋅g ′ (a)=−1 

Ejemplo

La siguiente tabla muestra varios valores de pendientes de rectas perpendiculares entre si:

f ′ (a) 

g ′ (a) 

1 

−1 

2 

−12  

−3 

13  

38  

−83  

La expresión general de la recta normal a f(x)  en el punto a  es:

y−f(a)=−1f ′ (a) ⋅(x−a) 

Ecuación de la recta normal

La recta normal a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Teorema de Rolle

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo.

Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.[]

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Demostración gráfica

En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones:

La función es continua en el intervalo cerrado [a,b],

Es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b).

Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero.

Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).

Teorema del valor medio (teorema de Lagrange)

Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:

Ejemplo: Si f(x) = x3 - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema.

Solución: Como f es polinómica, es continua y derivable en todos los números reales.

Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un número c en el intervalo abierto (1,4), tal que:

Sea una función que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un número tal que y

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.

Interpretación geométrica

El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

Consideremos la representación gráfica de una curva continua:

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número tal que

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.  

3.

4.

Solución:

1. Por ser una función polinomial, es derivable para toda por lo que debe existir por lo menos un número tal que:

Además por lo que

Como entonces por lo que

Luego en y en la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

Criterio de la primera derivada

Se llama criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene el punto crítico c

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Crítico de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a x

Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).

Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Análisis de la Variación de la Función

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x). Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función: 1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x). 2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0. Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0. 3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y]. b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y]. c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y]. d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y] e). gf es también BV en el conjunto [x, y]. Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes. Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas. La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada. Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada: 1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.

Conclusión

Para concluir en este tema hable generalmente sobre las derivadas y entendemos que una derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas ya que la derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto

A través del uso de todos estos temas que son recta tangente  y recta normal a una curva en un punto, teorema de rolle, lagrange y valor medio, función creciente y decreciente   , criterio de la primera y segunda derivada análisis de variación de funciones pudimos aprender mucho de cada tema más que nada saber identificar cada uno de los teoremas así como el concepto básico y sobre todo saber aplicarlo en la vida cotidiana ya que las matemáticas las utilizamos a diario del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento.

Por lo tanto tenemos que el objetivo de este tema es obtener información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento de esta.

Bibliografía

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes

http://mitecnologico.com/igestion/Main/AnalisisDeLaVariacionDeFunciones

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soto, L. (s.f.). analisis de la variacion de funciones. Obtenido de G:\tarea de calculo\Análisis De La Variación De Funciones.mht

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