Antologia De Calculo Diferencial
Enviado por gyovany94 • 24 de Febrero de 2013 • 971 Palabras (4 Páginas) • 1.051 Visitas
1.- LA DIFERENCIAL
a.- Interpretación geométrica
Diferencial de una función
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) • h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Interpretación geométrica
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.
b.- La diferencial como aproximación del incremento
Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre f(x+x) y f(x), es el error propagado.
En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:
donde es el error. La aproximación se obtiene desechando el error.
Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente
Ejemplo
Para encontrar la aproximación lineal de se hace lo siguiente:
Considérese la función
Se tiene:
Según lo ya visto,
El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…
EJERCICIOS
Ejemplo 1. Estimación del error
La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error propagado en el volumen de la bola.
Solución: La fórmula para el volumen de una bola es V= 4/3 πr^3, donde r es el radio. Así pues, podemos escribir
r = 0,7 Radio medido
y
...