Antologia De Calculo Diferencial

1.- LA DIFERENCIAL

a.- Interpretación geométrica

Diferencial de una función

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) • h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

b.- La diferencial como aproximación del incremento

Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre f(x+x) y f(x), es el error propagado.

En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

donde es el error. La aproximación se obtiene desechando el error.

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo

Para encontrar la aproximación lineal de se hace lo siguiente:

Considérese la función

Se tiene:

Según lo ya visto,

El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

EJERCICIOS

Ejemplo 1. Estimación del error

La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error propagado en el volumen de la bola.

Solución: La fórmula para el volumen de una bola es V= 4/3 πr^3, donde r es el radio. Así pues, podemos escribir

r = 0,7 Radio medido

y

-0,01  r  0,01 Posible error

Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que se obtiene dV/dr = 4πr^2 y escribimos

∆V≈dV Aproximar ΔV por dV

=4πr^2 dr Sustituir r y dr

=4π(0.7)^2 (±0.01)

≈±0.06158

Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas.

Ejemplo 2. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 .

Solución:

Fórmula del área de un cuadrado: A=l^2

l = 5 m

Δl = 0.002 m

dA = 2l ∙ dl

dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2

2.- LA INTEGRAL DEFINIDA

a.- Notación Sigma

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados.

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