Tipo De Errores De Métodos Numericos

1.3 Tipos DE ERRORES

Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas; la discrepancia entre una solución verdadera y una aproximada constituye un error, por lo que es importante saber qué se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los errores, para minimizarlos.

Error absoluto

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

La relación entre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* está dado por:

X = X* + error (1.1)

El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

E = |X - X*| (1.2)

El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está midiendo.

Error relativo.

El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor verdadero de la cantidad medida:

e = |E/X| = |(X - X*)/X| (1.3)

El error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, en forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en términos porcentuales:

e (%) = |E/X| x 100 (1.4)

Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y relativo: E y e sean también verdaderos. Pero normalmente X no se conoce; no tendría sentido considerar una aproximación, si se conociese el valor verdadero.

La mejor estimación posible del verdadero valor de X es su aproximación X* y se define entonces una estimación del error relativo como:

e* = |E/X*| (1.5)

Pero el problema está en cómo estimar E, en ausencia de conocimiento del verdadero valor de X.

Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que se hace una aproximación con base en la aproximación previa y esto se hace varias veces, para obtener cada vez mejores aproximaciones:

e* =  (valor actual - valor anterior)/valor actual  (1.6)

Los cálculos se repiten hasta que: e* < e0, donde e0 es un valor prefijado previamente.

Los errores numéricos se clasifican, por su origen, en tres tipos: errores inherentes, errores de redondeo y errores por truncamiento, cada uno de los cuales merece un tratamiento por separado.

Errores inherentes

Los errores inherentes se producen por la propia variabilidad de los fenómenos; al ser caracterizados a través de cantidades físicas, las mediciones conllevan incertidumbre, pues los instrumentos de medición ofrecen sólo una aproximación numérica del valor verdadero de la magnitud medida, pues se calibran para considerar solamente un determinado número de cifras significativas. Todas las magnitudes que se manejan en ingeniería son susceptibles a este tipo de errores.

Por ejemplo, cuando se dice que el tirante de agua de una presa es de 123 m, habiendo hecho la medición mediante un dispositivo que ofrece una precisión de tres cifras significativas, el tirante de agua realmente puede fluctuar entre 122.5 y 123.5 m.

X [122.5, 123.5) X* = 123

El error inherente absoluto máximo que se puede llegar a cometer cumple con la desigualdad:

Emax  0.5 m;

y el correspondiente error inherente relativo máximo cumple con la desigualdad:

emax  0.5/122.5 =

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