Apuntes CÁLCULO

Apuntes

CÁLCULO 

I  N  D  I  C  E

1. -  Diferenciales de funciones.

1. -  Sumatorias.

1. -  Integración.

1. -  Integrales Simples.

1. -  Integración por Sustitución.

1. – Integrales Trascendentes.

1. -  Integrales de Potencias Pares e Impares de Seno y Coseno.

1. -  Integrales por Sustitución Trigonométrica.

1. -  Integración por Partes.

1. - Integración de  Fracciones Simples.

1. -  Cálculo de Areas por Integración.

1. -  Cálculo de Volúmenes por Integración.

13.   -  Integrales Múltiples.

 I.- DIFERENCIALES DE FUNCIONES.

Dada la función:         y= 5x3         

Su derivada es:        y´= 15x2   ó   dy = 15x2           

                                        dx

El diferencial de la función es:

dy=15x2 dx

                                [pic 1]

El Diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por el diferencial de la variable independiente.

Ejemplos:

y= Cos 3x

dy= -3 Sen 3x dx

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]                 

[pic 5]           Reduciendo tenemos: [pic 6]

EJERCICIOS PROPUESTOS.

[pic 7]

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL DIFERENCIAL.

Sea la función:  y= x2 , representada geométricamente por un cuadrado de lado x:

[pic 8][pic 9]

Derivando por la regla de los cuatro pasos, tenemos:[pic 10][pic 11]

[pic 12][pic 13]

y+Δy=(x+Δx)2 [pic 14]

[pic 15]

y+Δy-y=(x+Δx)2 –x[pic 16][pic 17]

Δy=x2 +2x Δx+(Δx)2-x

Δy=2x Δx+(Δx)2

Derivando por fórmulas, tenemos:[pic 18]

        [pic 19]

y= x2[pic 20]

dy=2x dx

[pic 21]

2.- SUMATORIAS ( ∑).

Para representar la suma de varios términos que cumplen con ciertas condiciones, se usa matemáticamente el símbolo: ∑ (Sigma), el cual se interpreta como una Suma.

Propiedades de las sumatorias.

1._

        n         n

Σ ki= k Σ i                donde k=constante

i=1        i=1

2._

n

Σ i= n(n+1) 

i=1       2

3._

n               n             n

Σ (si ± ti)= Σ si ± Σ ti

i=1             i=1            i=1

4._

        n

Σ k =n.k                donde k=constante.

i=1

Ejemplos:

  5

 ∑   i        =1+2+3+4+5 = 5(5+1) =15                        Usando propiedad 2.

 i=1                               2        

La expresión anterior se lee como la suma de los términos i, comenzando en i igual a 1 y terminando en i igual a 5.

10

 ∑  j        =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 10(10+1) = 55        Propiedad 2.

j=1                                                2

15                                             15

 ∑  2k        = 2(1)+2(2)+2(3)+...+2(15)        = 2 Σ k = 2 (15)(15+1) = 240        Props. 1 y 2.

k=1                                             k=1            2

(La anterior expresión representa la suma de los números pares del 2 al 30)

 5                                                                  5          5

 ∑  2j-1        = 2(1)-1+2(2)-1+...+2(5)-1= 1+3+...+9 =   Σ 2j  - Σ 1

l=1                                                                  i=1         i=1

                      5            5

                = 2 Σ j  - Σ 1 = 2(5)(5+1) - 5 = 25                Props. 1,2,3,4

                      i=1   i=1                2

(Suma de los números impares desde 1 hasta 49).

EJERCICIOS PROPUESTOS.

[pic 22]

3.- INTEGRACION.

La operación de Integración, es la inversa de la operación de diferenciación, vista en  la materia de Cálculo Diferencial.                 

El símbolo usado para la integración es:

[pic 23]llamado símbolo integral, y no es más que una S (de suma) deformada.

En el cálculo diferencial, dada una función f(x), su derivada es f´(x) representada por F(x).

        Ejemplo:

                         f(x)= 3x+2                f´(x)= 3 ó F(x)=3

En el cálculo integral dada una función F(x), la integral es la función primitiva u original f(x).

Ejemplo:

                Dada la derivada de una función F(x)=3, obtener la función primitiva f(x):

                ∫3 dx = 3x        lo cual es la función primitiva f(x)=3x, del ejemplo de derivación.

A la integral:        ∫f(x) dx, se le conoce como integral indefinida, y en el resultado debe agregarse una constante C, llamada constante de integración.

La constante de integración C, se fundamenta en que pueden haber varias funciones similares que varían en un término como:

        f(x)=3x        g(x)=3x+5                h(x)=3x-7

Las derivadas respectivas son:

        f´(x)=3        =F(x)        g´(x)=3=G(x)                h´(x)=3=H(x)

Como se ve las derivadas de las funciones son iguales.

Si se integran las funciones:

...