Apuntes CÁLCULO

Apuntes

CÁLCULO 

I  N  D  I  C  E

1. -  Diferenciales de funciones.

1. -  Sumatorias.

1. -  Integración.

1. -  Integrales Simples.

1. -  Integración por Sustitución.

1. – Integrales Trascendentes.

1. -  Integrales de Potencias Pares e Impares de Seno y Coseno.

1. -  Integrales por Sustitución Trigonométrica.

1. -  Integración por Partes.

1. - Integración de  Fracciones Simples.

1. -  Cálculo de Areas por Integración.

1. -  Cálculo de Volúmenes por Integración.

13.   -  Integrales Múltiples.

 I.- DIFERENCIALES DE FUNCIONES.

Dada la función:         y= 5x3         

Su derivada es:        y´= 15x2   ó   dy = 15x2           

                                        dx

El diferencial de la función es:

dy=15x2 dx

                                [pic 1]

El Diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por el diferencial de la variable independiente.

Ejemplos:

y= Cos 3x

dy= -3 Sen 3x dx

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]                 

[pic 5]           Reduciendo tenemos: [pic 6]

EJERCICIOS PROPUESTOS.

[pic 7]

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL DIFERENCIAL.

Sea la función:  y= x2 , representada geométricamente por un cuadrado de lado x:

[pic 8][pic 9]

Derivando por la regla de los cuatro pasos, tenemos:[pic 10][pic 11]

[pic 12][pic 13]

y+Δy=(x+Δx)2 [pic 14]

[pic 15]

y+Δy-y=(x+Δx)2 –x[pic 16][pic 17]

Δy=x2 +2x Δx+(Δx)2-x

Δy=2x Δx+(Δx)2

Derivando por fórmulas, tenemos:[pic 18]

        [pic 19]

y= x2[pic 20]

dy=2x dx

[pic 21]

2.- SUMATORIAS ( ∑).

Para representar la suma de varios términos que cumplen con ciertas condiciones, se usa matemáticamente el símbolo: ∑ (Sigma), el cual se interpreta como una Suma.

Propiedades de las sumatorias.

1._

        n         n

Σ ki= k Σ i                donde k=constante

i=1        i=1

2._

n

Σ i= n(n+1) 

i=1       2

3._

n               n             n

Σ (si ± ti)= Σ si ± Σ ti

i=1             i=1            i=1

4._

        n

Σ k =n.k                donde k=constante.

i=1

Ejemplos:

  5

 ∑   i        =1+2+3+4+5 = 5(5+1) =15                        Usando propiedad 2.

 i=1                               2        

La expresión anterior se lee como la suma de los términos i, comenzando en i igual a 1 y terminando en i igual a 5.

10

 ∑  j        =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 10(10+1) = 55        Propiedad 2.

j=1                                                2

15                                             15

 ∑  2k        = 2(1)+2(2)+2(3)+...+2(15)        = 2 Σ k = 2 (15)(15+1) = 240        Props. 1 y 2.

k=1                                             k=1            2

(La anterior expresión representa la suma de los números pares del 2 al 30)

 5                                                                  5          5

 ∑  2j-1        = 2(1)-1+2(2)-1+...+2(5)-1= 1+3+...+9 =   Σ 2j  - Σ 1

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