Asíntotas

Asíntotas

Dada una función Y = f(X) cuya gráfica es una curva C decimos que la recta “r” es una asíntota de f (X) cuando la curva C se acerca más y más a “r” indefinidamente sin llegar a coincidir nunca con la propia “r”.

Sabiendo esto podemos decir que una asíntota es una recta. Se distinguen tres tipos de asíntotas que son las asíntotas horizontales, asíntotas verticales y asíntotas oblicuas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. La ecuación de una asíntota es simplemente la ecuación de una recta

Asíntota vertical:

La recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función con ecuación , si se cumple alguna de las siguientes condiciones.

i.

iii.

ii.

iv.

Si la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es discontinua en "a".

Ejemplo:

Sea la ecuación de una curva:

Observe que el dominio es el conjunto: R-{3}

Como y entonces la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de la curva.

Asíntota horizontal

Sea la función con ecuación

Si ó , entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Ejemplo:

1. Sea la ecuación de una curva.

Como:

entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva.

2.

entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva.

Asíntota oblicua

La recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será una asíntota oblicua si: .

Los valores de m y de b se calculan con las fórmulas: ; .

Ejemplo:

La curva con ecuación posee asíntota oblicua pues:

a. , de donde m=4

b. de donde b=-1

Así la ecuación de la asíntota es

Teorema

y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=>

n = limx->inf f(x) - mx

m = limx->inf f(x)/x

Demostración:

Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx - n = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx = n

x->inf n

---^---

f(x) f(x) f(x) - mx

=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m

x->inf x x->inf x x->inf x

Recíproco:

lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0

x->inf x->inf

=> Por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x).

Curvas asintóticas

Sea S una superficie regular de clase C2 y C una curva trazada sobre S. Vamos a decir que C es una curva asintótica de S si su curvatura normal es nula en todos sus puntos. Una dirección asintótica es una dirección en el plano tangente en el cual la curvatura es nula.

Se dice que una curva es asintótica a una línea, cuando se acerca a ella de manera continua e infinita, sin nunca llegar a tocarla.

Curvas asintóticas, curvas, en número de dos, de ramas infinitas, tales que, si un punto se aleja indefinidamente sobre una de ellas, existe sobre la otra un punto variable cuya distancia al primero tiende a cero.

Si una superficie contiene

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