Las asíntotas

Asíntotas:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

• Verticales

• Horizontales

• Oblicuas

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que:

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

Es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites:

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

• Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

• En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

El dominio de definición de una función; su crecimiento y decrecimiento; el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión; el estudio de concavidad y convexidad y el hallazgo de posibles asíntotas, permiten construir con tanta precisión como se desee innumerables curvas.

A los apartados anteriores conviene añadir el estudio de posibles simetrías que, cuando existan, simplificarán notablemente las construcciones de curvas.

Pasos a seguir en la construcción de una curva

1. Dominio de definición de la función.

2. Simetrías.

3. Puntos de corte con los ejes.

4. Asíntotas.

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6. Máximos y mínimos.

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Simetrías

• Una función se dice que es par si f(x) = f(- x).

Estas funciones son simétricas respecto al eje de ordenadas. Basta, pues, dibujar la curva situada a la derecha de este eje y complementarla a la izquierda por simetría.

• Una función f(x) es impar si f(- x) = - f(x).

Las gráficas de estas funciones tienen al origen de coordenadas por centro de simetría. La más característica de estas funciones es f(x) = x3. En efecto,

f(- x) = (- x)3 = - x3 = - f(x)

Rango de una función:

Es el conjunto formado por las imágenes.

Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso

se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de

abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes

f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha

función.

La manera más efectiva para determinar el Rango

consiste en graficar la función y ver los valores que

toma “Y”

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