Las asíntotas

Asíntotas:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

• Verticales

• Horizontales

• Oblicuas

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que:

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

Es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites:

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

• Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

• En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

El dominio de definición de una función; su crecimiento y decrecimiento; el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión; el estudio de concavidad y convexidad y el hallazgo de posibles asíntotas, permiten construir con tanta precisión como se desee innumerables curvas.

A los apartados anteriores conviene añadir el estudio de posibles simetrías que, cuando existan, simplificarán notablemente las construcciones de curvas.

Pasos a seguir en la construcción de una curva

1. Dominio de definición de la función.

2. Simetrías.

3. Puntos de corte con los ejes.

4. Asíntotas.

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6. Máximos y mínimos.

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Simetrías

• Una función se dice que es par si f(x) = f(- x).

Estas funciones son simétricas respecto al eje de ordenadas. Basta, pues, dibujar la curva situada a la derecha de este eje y complementarla a la izquierda por simetría.

• Una función f(x) es impar si f(- x) = - f(x).

Las gráficas de estas funciones tienen al origen de coordenadas por centro de simetría. La más característica de estas funciones es f(x) = x3. En efecto,

f(- x) = (- x)3 = - x3 = - f(x)

Rango de una función:

Es el conjunto

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