ASÍNTOTAS

INTRODUCCIÓN

Dentro del Syllabus de la asignatura Cálculo Diferencial, se estudian las asíntotas de algunas funciones. En general se define qué es una asíntota, cómo se calculan.

Pero algunas definiciones no son exactas o se prestan a confusión, otras no son completas. Es cierto que se necesitan algunos conocimientos previos como es el “acercamiento entre curvas”, pero si se pueden brindar algunos ejemplos de funciones en las que sus asíntotas son particulares y ampliar el criterio acerca del tema.

Las Asíntotas son más que una curva, una tendencia. Un esfuerzo infinito por alcanzar una perfección esquiva. Es criatura, y su constante acercamiento a lo absoluto puede ser elevado a ley del universo. Nos recuerda los límites a los que vivimos sometidos, pero también los cielos a los que estamos destinados.

Jamás llegarás a aquello a lo que tiendes pero siempre te irás acercando. Como sucede con tantas cosas de la vida: ideales, proyectos, amores, conocimientos o lealtades.

Es cuestión de poner la boca grande cuando se habla de aproximación y no insistir demasiado en la infinita exigüidad del incremento de ella.

Al final resulta que vivimos con ilusión de llegar a algo que, como el horizonte, siempre se nos queda fuera del alcance de la mano.

No es magro consuelo saber que, sin embargo, nos vamos acercando.

Ni es escasa riqueza el ser conscientes de lo mucho que llena el tiempo disponible el simple hecho de no dejar nunca de aproximarse.

Desde ese punto de vista, la vida es un conjunto interminable de asíntotas paradigmáticas aleatoriamente interpuestas

ASÍNTOTAS.

La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta asintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος —asýmptōtos— “aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definición de asíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca».1 Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.2

En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojas de hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que se habla de «recta asintótica» como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.

Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.

Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia la cual la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca y mucho menos la brinca. A medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la correspondiente variable dependiente tiende hacia el infinito, cualquiera que este sea.

En resumen Una asíntota es una línea recta o curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.

CLASIFICACIÓN DE ASÍNTOTAS.

Las asíntotas se clasifican en:

• Verticales

• Horizontales

• Oblicuas.

ASINTOTAS VERTICALES.-

Como su nombre lo indica, son rectas verticales asociadas a la función. Se encuentran presente únicamente en funciones racionales de la forma:

F(x)= g(x)/h(x)

Y se determinan encontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente. Tales valores reciben el nombre de Polos de la función. Entonces el número de polos asociados a una función determinarán el número de asíntotas verticales que tiene la función. Ejemplo:

Sin utilizar Límites:

Cuando x – 3 = 0 ; x = 3 ; nos indica que por x = 3 pasará una asíntota vertical (perpendicular al eje x).

Utilizando Límites

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

ASINTOTAS HORIZONTALES.-

Como su nombre lo indica, son rectas horizontales asociadas a la función. Se encuentran presente únicamente en funciones racionales de la forma:

F(x) = g(x) / h(x)

Y se determinan haciendo que la variable independiente “x”, tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos sobrepasar.

Sin utilizar Límites:

Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función

1. n > m f(x) NO posee asíntota horizontal

2. n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta

3. n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje x.

Utilizando Límites

Si existe el límite:

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

ASINTOTAS OBLICUAS (Inclinadas).-

La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical. Una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.

Sin utilizar Límites:

Utilizando Límites

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua

POSICIÓN RELATIVA DE LA FUNCIÓN CON RESPECTO A LA ASÍNTOTA

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

CONCLUSIONES:

Una asíntota es una línea recta que puede ser horizontal, vertical u oblicua a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin tocarla ni cortarla, y por lo menos una de sus variables tiende al infinito ∞.

El estudio de las funciones y por ende de las asíntotas representa un argumento muy importante en los fenómenos físicos aplicados a la ingeniería.

Existen tres tipos de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas (inclinadas); se las puede calcular de manera analítica y utilizando el Cálculo mediante límites.

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

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