Calculo Limites Y Asintotas

LIMITES AL INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES

En esta sección se estudiara el comportamiento de una función cuando la variable crece o decrece indefinidamente, es decir, nos interesa conocer los siguientes limites

Para ello consideremos la función

y estudiemos su comportamiento cuando y .

Para ello construimos la tabla siguiente

x crece sin limite x decrece sin limite

x f(x) x f(x)

1 0,6 -1 0,6

5 2,5862069 -5 2,586206897

40 2,9925187 -40 2,992518703

350 2,99990204 -350 2,999902044

3100 2,99999875 -3100 2,999998751

27500 2,99999998 -27500 2,999999984

A partir de los valores de la tabla podríamos concluir lo siguiente

Y también que

Es decir, el valor limite de la función cuando o

es igual a 3.

En la siguiente grafica se muestra la función y el valor de sus límites al infinito (que en este caso son iguales)

La recta hacia la cual tiende a acercarse la grafica de la función cuando o , se llama ASINTOTA HORIZONTAL de la grafica de la función . En base a lo anterior se tiene la siguiente definición:

DEFINICION La recta se llama asintota horizontal de la grafica de la función si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones

o

A partir de esta definición se concluye que la grafica de una función puede tener a lo sumo dos asintotas horizontales, una a la izquierda y una a la derecha. Las funciones racionales siempre tienen una sola asintota horizontal, pero hay funciones que pueden tener dos asintotas horizontales como en las graficas que se muestran a continuación

Bien, hasta ahora hemos determinada las asintotas horizontales de una función es decir, los limites

y

usando tablas o bien de forma grafica. Como generalmente estaremos calculando las asintotas horizontales de funciones racionales, para hacer estos cálculos analíticamente necesitaremos del siguiente Teorema el cual damos sin demostración.

TEOREMA 1

1) Si es un número racional positivo y es cualquier número real, entonces

2) Si es un número racional positivo, es cualquier número real y

esta definido para , entonces

EJEMPLO 1 Determinar los siguientes limites

a) b)

SOLUCION

a) Si sustituimos directamente el valor al que tiende en la expresión obtenemos

Esta última expresión la podríamos interpretar de dos maneras y concluir lo siguiente:

1) El límite es cero ya que estamos restando dos infinitos.

2) El límite es ya que a un le estamos restando estamos restando dos infinitos.

Sin embargo, ambas conclusiones son falsas ya que la expresión

es una forma indeterminada que no se sabe cual es su valor.

La aritmética del infinito no es la misma que la de los números reales así que hay que tener cuidado con este tipo de expresiones.

Necesitamos entonces una forma de evitar este tipo de situaciones y en este caso procederemos de la forma siguiente

Factorizamos la mayor potencia de del polinomio, obteniendo

El primer limite es claramente igual a

Para evaluar el segundo límite escribimos

El primero de estos límites es el límite de una constante, para evaluar los dos límites restantes aplicamos el inciso 1) del Teorema anterior, con lo cual obtenemos

Por lo tanto

a)

b) En este caso procederemos de forma más directa, factorizamos la mayor potencia de la cual es y la nueva expresión que se obtiene es

Aplicando el

...