Asíntotas Verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) o extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos o ambos menos infinito.

NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

Función Características de Asíntota Vertical que se cumplen y/o no se cumplen Existencia de una Asíntota Vertical (A.v.)

1.- En el valor x = 3 la función no está definida.

2.- El límite en x = 3 no existe.

Cuando x se acerca a 3 por la derecha el límite es: infinito

Cuando x se acerca a 3 por la izquierda el límite es: menos infinito. Por lo tanto la función tiene una Asíntota Vertical en x = 3, o sea, la recta x = 3 es la asíntota a la cual la función se va a acercar indefinidamente sin tocarla nunca.

1.- La función no está definida en dos valores de x, en x = 2 y en x = 4.

2a.- En x = 4 el límite no existe, por la derecha el valor de la función tiende a infinito y por la izquierda el valor de la función tiende a menos infinito.

2b.- en x = 2, el límite sí existe y es -5/2 Por lo tanto, una de las restricciones de dominio es una Asíntota vertical, mientras que la otra, como ya se vio anteriormente es un agujero en la función.

La función tiene una A. v. en x=4, o sea, la recta x = 4 funge como recta a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

A diferencia de los límites anteriores, que no existen, los límites cuando x tiende a 2, sí existen.

por lo tanto, el límite cuando x tiende a 2, sí existe:

La función no está definida en x = 1, pero hay que notar, que esta no definición en el denominador es "doble", ya que el factor (x-1) está elevado al cuadrado.

En x = 1 el límite no existe. Aunque el límite por la derecha y por la izquierda de la función cuando x tiende a 1 es menos infinito, sigue sin existir ese límite. Dada la tendencia hacia menos infinito en ambos casos, tanto cuando x tiende a 1 por la derecha, como cuando x tiende a 1 por la izquierda, la función tiene una asíntota vertical en x = 1

Es conveniente hacer notar, que este es un caso en que la función cruza la asíntota horizontal, lo cual se verá con más detenimiento en la sección de asíntotas horizontales.

La función no está definida para valores iguales o menores que 4. La gráfica de la función será únicamente de (-4, oo).

Mostrará una asíntota vertical en x = 4

ASINTOTAS HORIZONTALES

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función

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