Lectura de limites y asintotas

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Concepto de límite

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Estimo el valor de Ii n(x-” —3)

i

Damos valores a la variable para valores préximos al punto. = 2.

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Observa cdmo, al aproximarnos los valores de la variable a 2, siendo mayor que 2. 3, 2.5, 2.1, ... los valores de la funcién se aproximan a 1. 6, 3.25, 1.41, 1.2025, ..., 1.D401, 1.0040D1, 1.D0040001 siendo siempre mayores que 1, mientras que al aproximarnos a 2, siendo menores que 2. 1, 1.5, ..., 1.99, 1.999, 1.9999 los valores de la funcién también se aproximan a 1, tanto como queramos, siendo ahora menores que 1. —2, —D.11, 0.61, ..., 0.996DD1, 0.9996DDD1.

Pretendemos escribir con rigor matematico la idea de ” oproximorse’ y “e‹ror cerco°, ”tonto como queromos”.

Definicién

Dada una funcién /{z). 4—+ ’JI, A un intervalo de ’JI, y un punto z - a, se dice que el I/mite de @z), cuando z se aproxima a a es L,        se exp esa: **        f ( X )        L        Para todo c > 0, existe un 6 > 0 tal que,

siempre que O < I - — • I < 6, .z e        , se cumple )@z) — £ < z.

Del grâfico anterior, se desprende que, cualquier punto x que pertenezca al intervalo ( — ñ, + ñ), salvo quizas el propio punto u[pic 9]

{par ese motivo aparece en la definicién es signo <, 0 < z — r/ , para eliminar del entorno al punto r/), su imagen siempre estara contenida en el intervalo (L — , L + i.|. Y como la podemos hacer para cualquier r., enhances, podremos afirmar que £ es el Ifmite de

,/{.i), cuando .i se aproxima a r/.

Es una definicién rigurosa, con un alto nivel de abstraction, pero no ie preocupes, no es la que vamos a utilizar en el câlculo de limites. Aunque si la vamos a usar una ve2.

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K Utiliza la definftiân de limite para comptobat que hni(s ! —— 4

La definicion dice: para todo r., par la que elegimos un r. cualquiera, e imponemos:

|y«› — L I < ‹. —+ I \fi› — 4‹l        ‹ —+ I.fi — 4l        I l›— :›(› +z›I < I›— : I‹        » —+ I.‹— z I ‹ J..

Basta tamar D < ‹1<        para que se verifique si 0 < (. — 2        < ñ enhances        (.') — 4        < r..

1. Propiedades de los Iimites

Habras observado que calcular limited utili2ando la definicién puede ser muy COmplicado. Per eso nos interesa obtener propiedades y encontrar procedimientos que nos permitan calcularlos con mayor soltura.

Si existe, es dnico:

Si existe !l 77f        *) , es tinico.

Si hubiera dos Ifmites distintos bastarfa tamar como r. un tercio de la distancia entre ambos Ifmites para

Ilegar a contradiccién.

Operaciones con los Iimites

Para estudiar las operaciones con los lfmites vamos a suponer que / y y son dos funciones definidas sabre un mismo intervalo .Y y con valores en JI. Cuando indicamO+ kiln /(.T) — L deben ser u y 1

numeros reales.

Resperto de la suma de funciones:

El IimiEe de la suma de dos funciones es igual a la sum a de los limited de las funciones {siempre que la

operacién entre los limites esté definida y dichos limites existan), y se expresa asi:

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Analogo es para la resta de funciones.

Respecto del producto de unciones.°

El limite del producto de dos funciones es igual al products de los limites de las funciones (siempre que dichos limites existan y la operacién entre los Ifmites esté definida), y se expresa asf:

...