Base de datos

TEORIA MECANICA

INTRODUCCION

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores  P  y  Q  se representa como un vector resultante, la cual se denota  como      F = Pi + Qj,   (representación vectorial)

Y su valor escalar o modulo es  R = PQ sen θ. Como cualquier producto de valores, estas operaciones deben cumplir  ciertas  consideraciones como la de asociación y conmutación.

Para ello debemos tener en cuenta que el vector resultante es perpendicular a los vectores P  y  Q, los cuales establecen un ángulo.

Para ello emplearemos la tabla siguiente:

i   x  i  =  0                j  x  i  =  - k                k  x  i   =    j

I  x  j  =  k                j  x  j  =  0                k  x  j   =  - i

I  x  k  =  - j                j  x  k  =  i                k  x  k  =  0

Producto escalar  de dos vectores

A partir de su propia definición  se concluye que el producto escalar  de dos vectores es conmutativo  esto es que

                        P.Q =Q.P

Con el uso de la propiedad distributiva  P.Q se expresa como la suma de productos escalares  como Px i .Qx i y Py j. Qy j sin embargo a partir de la definición del producto escalar se concluye que los dos productos escalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno

i. i =1    j. j =1       k. k = 1

i. j=0     j. k = 0     k. I = 0

por lo tanto , la expresión obtenida para P . Q se reduce a

      P. Q = PX. QX + PY. QY + PZ. Q Z

Triple producto escalar de tres vectores  

 Se define el producto triple escalar  o producto triple mixto de tres vectores S, P ,Q como la expresión escalar

                           S. (P X Q)

FUERZAS EN EL ESPACIO (SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL)

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES .- Los sistemas de coordenadas, ya sea esta planar (dos ejes) o espacial (tres ejes),  se diseñan para servir de referencia a través de sus ejes y planos a los vectores (fuerzas), además de permitir establecer criterios uniformes de dirección y sentido, para lo cual  se emplean los llamados vectores unitarios   i, j  y  k.  

[pic 1]

COMPONENTES RECTANGULARES

Las fuerzas F ubicadas en un sistema rectangular puede ser descompuesto en sus elementos llamados “componentes” , los cuales normalmente se encuentran localizados en coincidencia con los ejes coordenados   i, j  y  k, conformando de esta forma una presentación vectorial , la cual se representa así.

                        F =  Fx i +  Fy j +  Fz k  (representación vectorial)  (1.1)

                        F =  [pic 2]  (valor escalar)

Estas componentes tienen  a la vez los valores siguientes:

Fx =  F cos θx                Fy =  F cos θy                Fz =  F cos θz                (1.2)

 Siendo los llamados Cósenos directores calculados de la manera siguiente:

cos θx        =  [pic 3]        cos θy        =  [pic 4]        cos θz        =  [pic 5]

Remplazando     (1.2)  en   (1.1)

F =  F cos θx        i +  F cos θy j  +  F cos θz k        

F =  F (cos θx        i +  cos θy j   +  cos θz k)                        (1.3)

De esta forma podemos establecer que        λ =    (cos θx        i +  cos θy j   +  cos θz k)        

Luego      de    (1.3)                        F = F λ                   (1.4)

donde F representa la fuerza en forma vectorial,  F el valor escalar de la fuerza y  λ   la posición del vector fuerza.

A partir de las coordenadas del vector de  posición o del vector fuerza podemos determinar λ,  de la forma siguiente:

λ  =  [pic 6]

EJEMPLOS  DEMOSTRATIVOS

Ejercicio 2.1

En el cuadro mostrado se tiene valores para los vectores P y Q, a partir de ellos determínese  su producto escalar o vectorial. Según corresponda:

Solución:

     P = ( 20i + 53j – 35k)  ;                          Q = ( -1.5i + 3.8j -2.6k)

PXQ:

(20i + 53j -35k) x (-1.5i + 3.8j – 2.6k)

76k + 52j – 79.5k – 137.8i – 52.5j + 133i

 4.8i – 0.5j – 0.35k

P.Q:

(20i +53j -35k) . (-1.5i + 3.8j -2.6k)

 30 + 201.4 + 91

 262.4

 P = ( 0.73i – 0.28j + 0.5k) ;                 Q = ( 5.75i -2.28j + 6.18k)

P X Q:

(0.73i – 0.28j + 0.5k) X (5.75i -2.28j + 6.18k)

1.66k + 4.51j – 1.61k + 1.73i – 2.88j -1.14i

...